Ярославский областной турнир матбоев. Финал.

[V.V.]

1. Пустыня разбита на единичные квадратики (клетки), в одном из которых находится лев. За ход разрешается установить решетку, разделяющую какие-либо две клетки, а лев после установки каждой решетки перебегает на соседнюю по стороне клетку. Чтобы поймать льва, нужно огородить клетку, где он находится, решетками. Всегда ли можно это сделать за 100 ходов?

2. Существует ли такое натуральное число n, для которого $\frac{S(n^3)}{S(n^2)}\geqslant 2007^{2007}$? (S(x) - сумма цифр x.)

3. Касательная, проведенная к описанной окружности треугольника ABC в точке A пересекает прямую BC в точке D. Перпендикуляр, восстановленный к BC в точке B пересекает серединный перпендикуляр к AB в точке E, а перпендикуляр, восстановленный к BC в точке C пересекает серединный перпендикуляр к AC в точке F. Докажите, что точки D, E и F лежат на одной прямой.

4. Найти все натуральные a, m, n, для которых $(a+1)^n$ делится на $a^m+1$.

5. Действительные числа $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ не превосходит 1. Известно, что n≥3 и $x_1+x_2+\ldots+x_n\geqslant n-2$. Докажите, что $x_1^5+x_2^5+\ldots+x_n^5\geqslant (n-2)^5/n^4$.

6. В зале находятся 2007 человек. Каждый знает не более 5 языков. Для любых трех человек найдутся двое, которые знают какой-либо общий язык. Докажите, что есть язык, который знают не менее 200 находящихся в зале.

7. На плоскости дано множество S из 5 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Пусть M(S) -- площадь наибольшего из треугольников с вершинами в точках множества S, m(S) -- площадь наименьшего такого треугольника. Найти наименьшее значение отношения M(S)/m(S) (по всем S).

8. Найти все функции f:R→R, для произвольных x и y удовлетворяющие равенству: $f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2+y$.

9. ABC -- остроугольный треугольник, не являющийся равносторонним. M - середина BC, X - произвольная точка на отрезке AM, Y - основание перпендикуляра, опущенного из X на BC, Z - произвольная точка на отрезке XY, U и V - основания перпендикуляров, опущенных из Z на AB и AC соответственно. Докажите, что биссектрисы углов UZV и UXV параллельны.

10. Найти наименьшее значение n>4, при котором существует граф на n вершинах, не содержащий треугольников и в котором для любых двух несмежных вершин A и B найдутся ровно две вершины, соединенные и с A, и с B.

[Mikhail Sokolov]

Обозначим $c=f(0)^2$, тогда полагая в уравнении $x=0$, имеем:
(1) $f(f(y))=y+c$.
Заменяя в исходном уравнении $x$ на $f(x)$ и используя (1), получаем:
(2) $f(f(x)(x+c)+f(y))=(x+c)^2+y$.
Полагая в (2) $x=-c$, имеем:
(3) $f(f(y))=y$, то есть $c=0$.
Теперь левые части исходного уравнения и уравнения (2) совпадают, следовательно, совпадают и правые:
$f(x)^2+y=x^2+y$.
То есть $abs(f(x)) = abs(x)$. Среди таких функций лишь $f(x)=x$ удовлетворяет исходному уравнению.

[neo66]

V.V. писал(а):

5. Действительные числа $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ не превосходит 1. Известно, что n≥3 и $x_1+x_2+\ldots+x_n\geqslant n-2$. Докажите, что $x_1^5+x_2^5+\ldots+x_n^5\geqslant (n-2)^5/n^4$.

Задача бы не представляла никакой трудности, если бы все $x_i\geq 0$. В этом случае она непосредственно следует из неравенства Йенсена для выпуклой функции $f(x)=x^5, x\geq 0$. Сведем ее к этому случаю.
1) Заметим, что $\forall i,j$ $x_i +x_j\geq 0$. Поэтому может быть не более одной отрицательной переменной $x_i <0$. Пусть, для определенности это $x_1$.
2) Без доказательства напишу неравенство: Пусть $a\geq b \geq 0$. Тогда $\frac{a^5-b^5}{2} \geq (\frac{a-b}{2})^5$
3) $x_1^5+x_2^5+\ldots+x_n^5 \geq (\frac{x_1+x_2}{2})^5 + (\frac{x_1+x_2}{2})^5 +\ldots +x_n^5 \geqslant (n-2)^5/n^4$.