Вычислить площадь, ограниченную окружностью и параболой

[Limit79]

Окружность: $x^2+y^2=16$, парабола: $x^2=12 \cdot (y-1)$. Рисунок .

Как я понимаю, удобнее перейти к полярным координатам:
Окружность: $r=4$, парабола: $r = \frac{6}{1-\sin(\varphi)}$.

Но интеграл $\int\limits_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} d \varphi \int\limits_{\frac{6}{1-\sin(\varphi)}}^{4} r dr$ равен отрицательному значению.

Подскажите пожалуйста, что я делаю не так.

p.s. Про симметрию знаю.

-- 01.02.2013, 22:15 --

Можно, конечно, оставить декартовы координаты, но в таком случае вычисления будут довольно громоздкие.

[ИСН]

Из Вашей формулы с синусами явствует, что парабола находится со всех сторон от начала координат (можно подставить любой угол, и там где-то будет точка).
Из графика очевидно другое.
С чего бы это, а?

[Limit79]

ИСН
И в правду, а при большом масштабе незаметно.

Я нашел такую формулу:

Если парабола задана в декартовой СК уравнением: $y^2=2px$, то уравнение в полярной будет: $r=\frac{p}{1-\cos(\varphi)}$.

Я начал крутить, как бы воспользоваться этой формулой, если парабола задана $x^2=2py$, собственно косинус на синус поменял - график построил - очень похоже. Только вот при относительно маленьком масштабе получается не похоже.

Если же "в лоб" переходить к полярной СК, то не могу из уравнение выразить $r$.

[ИСН]

Вы нашли формулу для поедания куриной ноги и пытаетесь приложить её к брюкве. Финал может быть трагичным.
Если парабола задана в декартовой СК уравнением: $y^2=2px$, they say. (Ну, или $x^2=2py$ - это то же самое, только поменять там местами.)
Задана ли она у нас таким уравнением?
Или она задана как-то иначе?

[Limit79]

ИСН
А, точно, центр-то смещен.

[Nacuott]

Зачем путаться и переходить к полярным координатам, двойной интеграл берется просто и в Декартовых.

[Limit79]

Nacuott
Я решил в декартовых координатах, это решение у меня заняло полтора листа А4. Имхо, в полярных будет меньше.

-- 01.02.2013, 23:21 --

Да и просто знать - полезно.

[ИСН]

Limit79 в сообщении #679024 писал(а):

А, точно, центр-то смещен.

Отож!

[Limit79]

ИСН
Будем думать, спасибо за совет.