1) Приведите, пожалуйста, пример такой функции рассматриваемого класса функций, т.е функций удовлетворяющих УКГ.
Во-первых, не вижу нужды приводить конкретный пример, когда есть общая теорема, утверждающая, что такая функция обязательно есть.
Во-вторых, Вам уже объясняли, что нельзя ограничивать класс функций, используемых при варьировании действия. Поэтому попытка ограничиться решениями какого-либо конкретного уравнения просто приведёт к неправильным результатам.
в выводе уравнений Эйлера предполагается, что варьирование происходит по всем гладким функциям, а не только по удовлетворяющим дополнительным условиям
По этой причине поиск требуемой Вами функции смысла не имеет.
К Вашему сведению спектральные составляющие любой компактной функции размазаны по всему пространству.
Функции с компактным носителем? Безусловно. Причём, этих составляющих там - континуальное "количество". А конечное число плоских волн не дадут локализованного решения.
Бессмысленно говорить о частице с бесконечными значениями импульса и энергии.
А кто говорит о таких частицах? Именно с бесконечными значениями импульса и энергии?
Еще замечу, что я не согласен с Вашими критическими рассуждениями в части поиска уравнения по лагранжиану. Лагранжиан заметно не упростился после подстановке в него нашего предполагаемого соотношения. Да и привел он к другому уравнению Эйлера, которое тем не менее подтвердило справедливость нашего соотношения.
Я не вижу у Вас вообще никакого вывода уравнений из лагранжиана. У Вас есть только упрощение лагранжиана с использованием взятого с потолка соотношения и заявление, что полученный после этого лагранжиан даёт нужные уравнения. В общем-то, известно, в каких случаях то или иное изменение лагранжиана даёт лагранжиан, эквивалентный исходному в том смысле, что из нового лагранжиана получаются те же уравнения движения, что и из старого. Ваше преобразование не относится к числу таких, поэтому упрощённый лагранжиан даёт не такие уравнения, как исходный (более того, совершенно непонятно, даёт ли исходный лагранжиан какие-нибудь уравнения вообще).