Хорошо, в данной теме будем считать так.
В довольно большой куче учебников (а также, например, в "Математическом энциклопедическом словаре") определяют область целостности как коммутативное кольцо с единицей

, в котором нет делителей нуля. Так считают не только в этой теме.
Вероятно, нужно сказать, что каждый ненулевой необратимый допускает нужное разложение. Иначе определение нехорошее.
Наличие обратимого элемента в разложении в качестве обязательного сомножителя предполагалось по умолчанию. Тоже есть в учебниках (например, см. определение факториального кольца в Кострикине, "Основы алгебры", М.: Физматлит, 2000).
Вероятно, такое определение подойдёт:

-- простой, если из

следует, что либо

, либо

обратим.
Так обычно и пишут, а я решил сэкономить на слове "двух".
Надеюсь, теперь с буквоедством мы покончили, и можно заняться делом --- доказать критерий в ту самую интересную сторону.