Категория

[xmaister]

Не понимаю, что такое категория формально. Откуда берутся эти объекты, которые не всегда множества. Я понял, что можно рассматривать аксиому универсума. Не понятно, кто такой универсум. Это множество? А можно для каждого семейства множеств найти свой универсум и рассмотреть совокупность универсумов и назвать их универсумом? Как строятся объекты категории всех категорий. Они же даже класс не образуют...

З.Ы. На сугубо не формальном уровне я представляю себе эти штуки. Но как это все описать, какие аксиомы у теории категори и основания теории категорий я не понимаю.

[apriv]

Универсумы придумали, чтобы не мучаться с собственными классами. Универсум — это такое огромное множество множеств; его элементы называются малыми множествами. Предполагается, что основная работа происходит с малыми множествами (и по определению универсума результаты многих естественных операций с малыми множествами являются малыми множествами). Если возникает необходимость рассмотреть «множество всех множеств» (ну, или не всех, а с каким-нибудь свойством или дополнительной структурой), можно рассмотреть множество всех малых множеств — и это будет просто множеством. С множествами тоже много чего делать; а вот множество всех множеств уже множеством не будет, а будет собственный класс. Таким образом, вместо двух уровней (множество — класс) появляется три (малое множество — множество — класс). Это удобно: например, категория всех малых множеств имеет право на существование (множество ее объектов — действительно множество) и обладает хорошими свойствами. При желании можно включить универсум в следующий универсум и появится четыре уровня. Конечно, аксиома универсума сильнее ZFC, но это волнует только специалистов в теории множеств.
Вообще, конечно, обычному математику такие тонкости не нужны совершенно, и при соблюдении минимальной чистоплотности никаких теоретико-множественных проблем ему не встретится.

[JMH]

В тех немногих книжках по ТК, с которыми я знаком, ничего не говорится про универсум, там имеют место класс объектов и множество морфизмов. Из какой книги определение Вы используете?

apriv, мне непонятно, чем Ваше определение универсума отличается от определения множества или, если угодно, семейства множеств? А вот согласно wiki, universe - класс, не обязательно собственный.

[apriv]

JMH в сообщении #678657 писал(а):

apriv, мне непонятно, чем Ваше определение универсума отличается от определения множества или, если угодно, семейства множеств? А вот согласно wiki, universe - класс, не обязательно собственный.

Тем, что элементы универсума замкнуты относительно всяческих операций. А определение не мое, а Гротендика: Grothendieck universe.

[Утундрий]

xmaister в сообщении #678577 писал(а):

Откуда берутся эти объекты, которые не всегда множества.

Пусть меня поправят, если ошибаюсь, но по-моему - из попытки убежать от Рассела. Только, судя по тому что говорит apriv, бегство получается какое-т о хромое.

apriv в сообщении #678621 писал(а):

Таким образом, вместо двух уровней (множество — класс) появляется три (малое множество — множество — класс). Это удобно: например, категория всех малых множеств имеет право на существование (множество ее объектов — действительно множество) и обладает хорошими свойствами. При желании можно включить универсум в следующий универсум и появится четыре уровня.

Интересно, что-то мешает продолжить этот процесс до бесконечности?

[Joker_vD]

Утундрий в сообщении #678911 писал(а):

Интересно, что-то мешает продолжить этот процесс до бесконечности?

Ничего не мешает. Можете посмотреть Захаров, Михалев "Локальная теория классов и множеств как основание для теории категорий".

[Утундрий]

Joker_vD в сообщении #678929 писал(а):

Ничего не мешает.

Жаль. Ещё одна дурная бесконечность...

[Joker_vD]

Как в КМ почти все интегралы расходятся, так это никого не волнует, а как в теории категорий слишком большие совокупности появляются — так сразу "дурная бесконечность".

[Утундрий]

Joker_vD в сообщении #678934 писал(а):

Как в КМ почти все интегралы расходятся, так это никого не волнует

Волнует-волнует.

[xmaister]

apriv
Перечитал первые главы Маклейна. Он сначала определяет аксиомы теории категорий- 5 штук и называет метакатегорией произвольную модель для этих аксиом. Что это значит? Как определить модель формально? В то время как категорией он обзывает произвольную теоретико-множественную модель для этих аксиом. Т.е. для того, чтобы построить категорию всех малых множеств и вводят универсум и вообще для построения категорий мы будем использовать аксиомы ТМ? Еще сказано, что аксиоматическим определением универсума не получится построить категорию всех множеств. Т.е. в $ZFC$+ универсум множества- произвольное подмножество $U$. Почему тогда мы не можем построить множество всех подмножеств $U$? Еще не понятно, можем ли мы определить формально функтор между 2мя метакатегориями и, соответственно естественное преобразрвание?

[apriv]

У Маклейна есть малые категории, большие категории и метакатегории: все малые категории образуют большую категорию, и все (малые и большие) категории образуют метакатегорию. Такое словоупотребление, мне кажется, вышло из моды: сейчас народ называет просто категорией то, что у него называется метакатегорией, и предполагает существование достаточного количества универсумов, чтобы можно было считать, что у любой категории объекты и морфизмы образуют множество.

[xmaister]

Теперь вроде проясняется. Значит и для категории всех больших категорий имеется универсум. Т.е. изначально есть универсум $U$, который содержит все малые множества в качестве элементов. Потом рассматриваем семйство всех родмножеств $U$ и из аксиомы Гротендика существует универсум $V$, который содержит $2^U$ в качестве подмножества. Т.о. получаем, что для каждой категории множество объектов лежит в $V$. Далее формально категория- упорядоченная тройка и множество всех категорий- подмножество $V$ и соотвественно есть униерсм, в котором множество всех категорий содержится. Я правильо рассуждаю? И еще не ясно, когда мы строим категорию всех больших и малых категорий мы не должны следить, чтобы $\mathrm{Hom}(X,Y)$ было малым множеством?

[xmaister]

Пусть- $\mathcal{C},\mathcal{D}$- категории. Функтор между $\mathcal{C}$ и $\mathcal{D}$ определяют в том случае, если их объекты лежат в фиксиррванном универсуме. Для произвольных метакатегорий понятие функтора можно как-то опрделить?