Физический смысл ротора и дивергенции физической величины

[Sledovatel]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться.
Пусть рассматривается некоторая физическая величина $A$, тогда какой физический смысл будут иметь $\operatorname{div} A$ и $\operatorname{rot} A$?
Например, теорема Гаусса для вакуума в дифференциальном виде: $\operatorname{div} \vec{E} = \frac{1}{\varepsilon} \rho$. Какой из этого можно сделать вывод об электрическом поле? Почему?
Такие же вопросы имеются по поводу всех уравнений Максвелла, а также преобразований выражений с помощью теорем Стокса и Остроградского-Гаусса, но для начала хотя бы с этим разобраться.
Заранее спасибо.

[Freeman-des]

А должно быть не просто величиной, а полем этой величины. Дивергенция от этого поля будет сообщать нам об источниках или стоках этого поля в конкретных точках. Этот закон Гаусса говорит нам о том, что заряд является источником поля Е.

[Sledovatel]

Freeman-des в сообщении #678226 писал(а):

Дивергенция от этого скалярного поля будет сообщать нам об источниках или стоках этого поля в конкретных точках.

Это просто как аксиома? Или из чего-то следует?
Дивергенция - сумма частных производных. Но как это говорит нам об источниках?

[Freeman-des]

Там не скалярное поле. Я поспешил. Дивергенция отражает векторное в скалярное.

Нет, это не аксиома. Это просто понятно. Вам нужно разобраться, что такое поток. А дивергенция - это тот же поток, только при условии стягивания поверхности в точку.

[Sledovatel]

Поток... Попробую разобраться.
Спасибо.

[zask]

Sledovatel в сообщении #678231 писал(а):

Дивергенция - сумма частных производных. Но как это говорит нам об источниках?

Об этом говорит как раз интегральная форма теоремы

$\int \vec{E} d\vec{S} =\int \operatorname{div}\vec{E} dV = 4\pi\int \varrho dV = 4\pi Q.$

[Munin]

Физического смысла у математических операций нет. Например, какой физический смысл у математической операции "плюс пять" ($\ldots+5$)? Где-то может понадобиться прибавить пять метров, чтобы узнать высоту крыши сарая. Где-то - прибавить пять градусов, где-то - пять ом. Заранее не скажешь.

У дивергерции и ротора смысл математический. Если рисовать векторное поле "стрелочками", то дивергенция вычисляет "откуда стрелочки расходятся", а ротор - "вокруг чего стрелочки закручиваются". Причём надо быть осторожным. Дивергенция и ротор могут присутствовать в неявном виде, не наглядном. Например, для дивергенции:
- векторное поле везде направлено в одну сторону, но в этом направлении становится всё сильнее и сильнее. Тогда, для изображения "линий поля", надо рисовать их всё больше и больше, и значит, линии должны где-то начинаться в объёме, дивергенция больше нуля.
Для ротора:
- векторное поле везде направлено в одну сторону, но при этом в поперечном направлении становится всё сильнее и сильнее. Тогда, выбрав прямоугольный контур и вычисляя циркуляцию, мы увидим, что две его стороны не скомпенсированы, циркуляция не нуль, присутствует ротор.
Чтобы понять наглядно такие случаи, и привыкнуть их "видеть", можно в таких случаях вычесть из поля постоянную константу. В первом случае, наглядно увидите, откуда "стрелочки расходятся", во втором - "вокруг чего стрелочки закручиваются".

[DimaM]

Sledovatel в сообщении #678223 писал(а):

Например, теорема Гаусса для вакуума в дифференциальном виде: $\operatorname{div} \vec{E} = \frac{1}{\varepsilon} \rho$.

Для вакуума, как мне кажется, должен ноль в правой части быть.

[seriy21]

Посмотрите 5-й том Фейнмановских лекций по физике "Электричество и магнетизм" главы 2 и 3, а также 2-й том Берклеевского курса физики, тоже "Электричество и магнетизм", главу 2 начиная с пункта 2.9.

[kw_artem]

Sledovatel в сообщении #678223 писал(а):

Пусть рассматривается некоторая физическая величина , тогда какой физический смысл будут иметь и ?

Если интересно и не жалко потратить полчаса, посмотрите, например, Письменного "Конспект лекций по высшей математике" параграфы 71.3-71.5 (мат.смысл дивергенции и ротора). Лаконичным языком написано.

[Munin]

seriy21 в сообщении #678398 писал(а):

Посмотрите 5-й том Фейнмановских лекций по физике "Электричество и магнетизм" главы 2 и 3, а также 2-й том Берклеевского курса физики, тоже "Электричество и магнетизм", главу 2 начиная с пункта 2.9.

Ещё есть хорошая наглядная книжка для дошкольников Г. Е. Зильберман "Электричество и магнетизм". Уровнем ниже Фейнмана и Парселла, но привыкнуть к понятиям дивергенции и ротора (источников и вихрей векторного поля) позволяет.

[мат-ламер]

Sledovatel в сообщении #678231 писал(а):

Дивергенция - сумма частных производных. Но как это говорит нам об источниках?

Но это не лучшее определение дивергенции. См. статью в Википедии (после фразы: определение дивергенции выгдядит так ...).

[Sledovatel]

Всем большое спасибо.

[timots]

Munin в сообщении #678310 писал(а):

Например, какой физический смысл у математической операции "плюс пять" ()?

Введения операций div и rot аналогично введению умножению в арифметику. Просто заметили, что одни и те же операции в различных ситуациях повторяются.

[Munin]

timots в сообщении #684896 писал(а):

Введения операций div и rot аналогично введению умножению в арифметику. Просто заметили, что одни и те же операции в различных ситуациях повторяются.

Ну на самом деле нет. Таким способом ввели комплексные числа. А потом Гамильтон без особых "повторений" ввёл кватернионы. А потом оказалось, что они напрямую неудобны, и от них отряхнули лишнее, оставив векторы. Но сами векторные операции оказались изрядно "высосаны из пальца". Скалярное произведение ещё более-менее оправдало себя, а векторное никак нормально не обобщалось на разные размерности. Постепенно взамен выработали другую "арифметику" - внешних форм и тензоров - но это распространилось не сразу (хотя внешние формы Грассман придумал чуть ли не раньше, чем Гамильтон кватернионы).