Проверьте доказательство в простейших примерах

[Nikolai Moskvitin]

"При изоморфном соответствии между группами $G$ и $G'$ единице группы $G $соответствует единица группы $G'$, и если элементу $a$ из $G$ соответствует элемент $a'$ из $G'$, то элементу $a^{-1}$ соответствует элемент $a'^{-1}$" (Курс высшей алгебры. Курош 14 глава). В учебнике это не доказывается.
Первое я попытался доказать так:
$ae=ea=a$,$a'e'=e'a'=a'$, $ab=a'b'$, $aeb=a'e'b'$, $eab=e'a'b'$, $ec=e'c'$, $c=c'$, значит $ec=e'c$, $eec=e'cc^{-1}$, $ee=e'e$, $e=e'$. Где-то ошибся? (меня смущает, что у меня получилось равенство, а не соответствие).
Второе- так:
$c'^{-1}=(a'b')^{-1}$, $c'=a'b'$,
$c^{-1}=(ab)^{-1}$, $c=ab$. Перемножаем равенства и получаем в силу $e=e'$ $ab(ab)^{-1}=a'b'(a'b')^-1$, отсюда $(ab)^{-1}=(a'b')^{-1}$.

Думаю, что ошибка есть (см. замечание к первому пункту). Как научиться доказывать изоморфность, а не равенство?

[apriv]

Nikolai Moskvitin в сообщении #678356 писал(а):

Первое я попытался доказать так:

Там дальше какие-то бессмысленные выкладки; в какой-то момент получаются «равенства» типа $ab^{-1}=a'b'^{-1}$, причем левая часть является элементом группы $G$, а правая часть — элементом какой-то совершенно другой группы. Так что лучше подумайте, что же Вам нужно доказать, обозначьте изоморфизм из условия какой-нибудь буквой (а не просто штрихом), и вперед. А еще лучше — не читайте Куроша.

[g______d]

Nikolai Moskvitin в сообщении #678356 писал(а):

"При изоморфном соответствии между группами $G$ и $G'$ единице группы $G $соответствует единица группы $G'$, и если элементу $a$ из $G$ соответствует элемент $a'$ из $G'$, то элементу $a^{-1}$ соответствует элемент $a'^{-1}$" (Курс высшей алгебры. Курош 14 глава). В учебнике это не доказывается.
Первое я попытался доказать так:
$ae=ea=a$,$a'e'=e'a'=a'$, $ab=a'b'$

Начиная отсюда. Как Вы правильно заметили, нельзя писать равенство между элементами разных групп. Правильно будет $(ab)'=a'b'$. Проследите за этим дальше.

[kw_artem]

Nikolai Moskvitin в сообщении #678356 писал(а):

изоморфном соответствии

Изоморфизм -- это в первую очередь некоторое (биективное) отображение $f$ (обладающая определенными свойствами) между двумя группами. А у Вас в доказательстве оно отсутствует.

[Nikolai Moskvitin]

apriv в сообщении #678360 писал(а):

А еще лучше — не читайте Куроша

А Шафаревича можно? (просто больше уже некого, учебник по коммутативной алгебре не могу осилить, потому что всё время попадаются термины, которые я не знаю).
Первое всё же попытаюсь доказать, второе пока не буду:
$a\simeq{c}$, $a=ae$, $ab\simeq{cd}$, $e$ является одним из элементов группы $G$, $ae\simeq{cd}$,
но $ae\simeq{c}$, поэтому $cd=ce_1$, отсюда $d=e_1$, тогда если бы $a$ и $c$ не были бы изоморфны, $e$ и $e_1$ также были бы не изоморфны.
Где всё таки найти нормальное доказательство? :)

[kw_artem]

Прочитайте еще раз определение изоморфизма, какому свойству удовлетворяет отображение $f$.

Nikolai Moskvitin в сообщении #678356 писал(а):

Первое я попытался доказать так:

Для доказательства первого воспользуйтесь свойством $f$ и определением единицы.

-- 31.01.2013, 18:34 --

Nikolai Moskvitin в сообщении #678388 писал(а):

Где всё таки найти нормальное доказательство?

Кострикина, например, гляньте, Основы алгебры, I часть(стр. 144). Посмотрите как для единицы доказывается, а остальное сами попытайтесь доказать (думаю влет докажете)

[nnosipov]

Nikolai Moskvitin в сообщении #678388 писал(а):

А Шафаревича можно?

С Винберга лучше начните, "Начала алгебры" или "Курс алгебры". И начинайте с самых азов: множества и операции над ними, отображения множеств, виды отображений. А группы, кольца, поля и т.п. с их изоморфизмами и прочими делами --- уже потом.