Доказать неравенство...

[DjD USB]

Докажите, что при вещественных $x>0$ выполнено неравенство:

$$3^{x^5}+9^{x^4}+3^{32}\ge 3^{4x^3+1}$$

[TOTAL]

Два раза примените неравенство между средн. арифм. и ср. геом.

[DjD USB]

TOTAL в сообщении #660770 писал(а):

Два раза примените неравенство между средн. арифм. и ср. геом.

Да, у вас по короче вышло. Я 1 раз использовал неравенство о средних. А потом получил, что $x^5+2x^4+32+3\ge 12x^3+3$ . Здесь вы как раз и использовали 2-й раз неравенство но я просто привел к виду $(x-2)^2(x^3+6x^2+8x+8)\ge0$ . Последнее очевидно при х>0

-- Ср дек 19, 2012 19:47:21 --

Вот еще:
Найдите все такие простые числа $p$, что ни при каком натуральном $n$ число $n^{n+1}+(n+1)^n$ не делится на $p$

[Shadow]

Малая теорема Ферма

[Ktina]

DjD USB в сообщении #660783 писал(а):

Найдите все такие простые числа $p$, что ни при каком натуральном $n$ число $n^{n+1}+(n+1)^n$ не делится на $p$

Shadow в сообщении #660793 писал(а):

Малая теорема Ферма

Ответ: 2.

Из чисел $n$ и $n+1$ одно чётно, а другое -- нет. Отсюда, выражение $n^{n+1}+(n+1)^n$ всегда нечётно.

Пусть $p$ нечётно. Положим $n=p-2$. Тогда $(p-2)^{p-1}$ даёт остаток 1 при делении на $p$ (согласно МТФ), а $(p-1)^{p-2}$ даёт остаток $-1$ при делении на $p$ (поскольку $p-2$ нечётно). В сумме выходит остаток $0$ при делении на $p$.

Итак, для любого простого $p\ne 2$ можно подобрать такое $n$, чтобы $n^{n+1}+(n+1)^n$ делилось на $p$.
Для $p=2$ такое $n$ подобрать нельзя, откуда и следует ответ.

DjD USB, красивая задача. Откуда она?

[DjD USB]

http://crdo-bernoulli.kubannet.ru/fum.html

[Ktina]

DjD USB,

(Оффтоп)

Вау! Целое море задач, по трудности не уступающих КПК! Спасибо!

[DjD USB]

Ktina,
На здоровье