Расширение поля

[Joker_vD]

Если $f(x)$ неприводим над $K$, то $[K[x]/(f(x)) : K]=\deg f$ — вы это знаете или нет?

[deniskaka]

Joker_vD в сообщении #677656 писал(а):

Если $f(x)$ неприводим над $K$, то $[K[x]/(f(x)) : K]=\deg f$ — вы это знаете или нет?

Да, знаю.

[Joker_vD]

А что если $K\subset L\subset N$, то $[N:K]=[N:L][L:K]$?

[deniskaka]

Joker_vD в сообщении #677659 писал(а):

А что если $K\subset L\subset N$, то $[N:K]=[N:L][L:K]$?

Да, про это тоже в курсе. Т.е. у нас есть поле с его двумя расширениями размерности $n$, и, учитывая это свойство, размерность $[F : \mathbb R[x]/(x^2+1)]$ = 1, а, следовательно, n и будет максимальной степенью неприводимого многочлена. Я правильно говорю?

[Joker_vD]

Давайте проверим.

Итак, у вас есть поле $K$, $F$ — его алгебраически замкнутое расширение и $[F:K]=n$. Пусть у вас внезапно отыскался многочлен $f(x)\in K[x]$, неприводимый над $K$ и $\deg f(x)=n+1$. Что тогда?

[deniskaka]

Joker_vD в сообщении #677668 писал(а):

Давайте проверим.

Итак, у вас есть поле $K$, $F$ — его алгебраически замкнутое расширение и $[F:K]=n$. Пусть у вас внезапно отыскался многочлен $f(x)\in K[x]$, неприводимый над $K$ и $\deg f(x)=n+1$. Что тогда?

Тогда размерность $[K / (f(x)) : K] = n + 1$. Размерность $[F:K]=n$, тогда размерность $[K / (f(x)) : F] = (n+1)/n$. Тут, видимо, мы как-то должны получить, что корни какого-нибудь многочлена не будут лежать в $F$.

[Joker_vD]

$F$ алгебраически замкнуто.

[deniskaka]

Joker_vD в сообщении #677680 писал(а):

$F$ алгебраически замкнуто.

Да, т.е. все корни должны лежать в этом поле.

[Joker_vD]

Тогда $F\subset K[x]/(f(x))$ и $[F:K[x]/(f(x))]\geqslant1$.

А $[K[x]/(f(x)):F]$ вообще бессмысленная запись — с чего бы $K[x]/(f(x))\supset F$?

[deniskaka]

Joker_vD в сообщении #677685 писал(а):

Тогда $F\subset K[x]/(f(x))$ и $[F:K[x]/(f(x))]>1$.

Т.е. противоречие в этом и заключается? А почему степень не может быть меньше $n$? Там те же соображения?

[Joker_vD]

deniskaka в сообщении #677692 писал(а):

А почему степень не может быть меньше $n$?

В смысле — не может? Может. $x-1$ неприводим над $\mathbb C$, хоть его степень и меньше двух.

[deniskaka]

Joker_vD в сообщении #677697 писал(а):

deniskaka в сообщении #677692 писал(а):

А почему степень не может быть меньше $n$?

В смысле — не может? Может. $x-1$ неприводим над $\mathbb C$, хоть его степень и меньше двух.

Всё, я понял, спасибо Вам огромное за помощь!