Решить уравнение

[yonkis]

Решить уравнение: $|\sin x|=-\sin x\cos x$
Разделим на синус обе части, наложим условие
Получим систему:
$\cos x=1$
$\cos x=-1$
$x\neq \pi k, k\in Z$
В итоге получается, что корней нет...что неверно в решении? можно ли решить, не деля на синус?

[ewert]

yonkis в сообщении #677234 писал(а):

...что неверно в решении?

Всё неверно. Во-первых, , прежде чем делить (в случае, когда это возможно), надо разобраться с модулем. Во-вторых, случай, когда деление невозможно, следует разобрать дополнительно.

[Praded]

yonkis в сообщении #677234 писал(а):

можно ли решить, не деля на синус?

В уравнении нужно не делить, а выносить.

[ewert]

Praded в сообщении #677266 писал(а):

В уравнении нужно не делить, а выносить.

Можно и делить, если осторожно. Вынесение же здесь формально неудобно из-за модуля. Конкретно же в этом примере выгоднее немножко сжульничать: выписать все числа, которые могли бы хоть в принципе быть решениями и проверить подстановкой.

[мат-ламер]

Можно предложить решение - вынести синус в левой части из под модуля с помощью функции $sgn$. См. http://ru.wikipedia.org/wiki/Sgn. Но это вряд-ли для школьника.

[Praded]

ewert в сообщении #677319 писал(а):

Вынесение же здесь формально неудобно из-за модуля.

А предварительные преобразования никто не отменял. И никакого жульничества:
$\pm\sin x=-\sin x\cdot\cos x$

[Keter]

Можно, просто как вариант, сделать так:

$\sin x = \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos 2x}{2}}, \quad \sin x \cos x = \dfrac{1}{2} \sin 2x$

$|\sin x|=-\sin x \cos x \Rightarrow \sqrt{\dfrac{1-\cos 2x}{2}}=-\dfrac{1}{2} \sin 2x$
$\dfrac{1-\cos 2x}{2}=\dfrac{1}{4} \sin^2 2x \Rightarrow 2-2 \cos 2x=1-\cos^2 2x \Rightarrow (\cos 2x-1)^2=0$

$\cos 2x=1 \Rightarrow x=\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

-- 29.01.2013, 17:36 --

yonkis, Ваше решение можно продолжить. При делении на синус Вы ввели ограничение $x \ne \pi k$. Получили систему. У этой системы нет решений. Значит Вам остаётся проверить: является ли решением $x=\pi k$. Подставляете - подходит. Значит единственное решение $x=\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

[ewert]

Нет, ну тупо же. Если синус равен нулю, то пи-ка, и равенство выполняется. Если не равен, то на него можно сократить, и тогда при любом раскрытии модуля получается косинус то ли плюс, то ли минус единичка, а это те же самые пи-ка. Т.е. других решений и нет.

Какая-то совсем тупая задачка.