Кольца.

[stasiksis]

подскажите пожалуйста идею доказательства:
Если любой модуль над ассоциативным кольцом с единицей - свободный, из это следует что это кольцо-тело.

[apriv]

Посмотрите на какой-нибудь циклический подмодуль этого кольца, что ли.

[stasiksis]

и что это нам даст???какой например??

[apriv]

stasiksis в сообщении #677200 писал(а):

и что это нам даст???какой например??

А Вы знаете, что такое циклический модуль вообще? Нам это даст решение, а Вам — уж не знаю.

[stasiksis]

я то понимаю, просто никак не могу связать их с понятием "тело", чтобы всё так тривиально доказывалось. Для меня это пока что трудновато.

[apriv]

Ну хорошо. Для того, чтобы доказать, что элемент $x$ кольца обратим, рассмотрите циклический подмодуль, порожденный $x$, и примените Ваше условие.

[stasiksis]

apriv в сообщении #677222 писал(а):

Ну хорошо. Для того, чтобы доказать, что элемент $x$ кольца обратим, рассмотрите циклический подмодуль, порожденный $x$, и примените Ваше условие.

То есть я так понял, задача сводится к тому, что нужно доказать единственность базиса нашего циклического подмодуля?

[apriv]

Какая единственность базиса? Зачем?

[stasiksis]

Ну как же, чтобы сделать гомоморфизм нашего кольца в тело, нужно показать, что у выбранного нами циклического подмодуля все базисы имеют одинаковое число элементов. Я не прав?

[stasiksis]

Опять тупик(