Исследование ряда на абсолютную и условную сходимость

[Mary84]

Т.е. мы 2 раза умножаем ряд на (-1). При этом, один минус "съедается" модулем(второй ряд(косинус)). А другой обеспечивает убывание членов в первом ряде. Потому что без минуса получается наоборот - члены возрастают.

Из-за косинуса я не уверена, что можно сравнивать мой ряд с гармоническим рядом $\frac{1}{n}$ .
Проверка абсолютной сходимости:

$\frac{n^2+10n}{\left |n^2-4n^3\right |}\left |\cos{\frac{n}{3}}\right |=\frac{n^2(1+\frac{10}{n})}{n^3(\frac{1}{n}-4)}\left|\cos{\frac{n}{3}}\right|\sim \frac{1}{n}$ (при $n\to\infty$)

Сл-но по предельному признаку сравнения ряд расходится и абсолютной сходимости нет.

[vicvolf]

Mary84 в сообщении #677094 писал(а):

Т.е. мы 2 раза умножаем ряд на (-1). При этом, один минус "съедается" модулем(второй ряд(косинус)). А другой обеспечивает убывание членов в первом ряде. Потому что без минуса получается наоборот - члены возрастают.

Верно.

Mary84 в сообщении #677094 писал(а):

Из-за косинуса я не уверена, что можно сравнивать мой ряд с гармоническим рядом $\frac{1}{n}$ .
Проверка абсолютной сходимости:
$\frac{n^2+10n}{\left |n^2-4n^3\right |}\left |\cos{\frac{n}{3}}\right |=\frac{n^2(1+\frac{10}{n})}{n^3(\frac{1}{n}-4)}\left|\cos{\frac{n}{3}}\right|\sim \frac{1}{n}$ (при $n\to\infty$)
Сл-но по предельному признаку сравнения ряд расходится и абсолютной сходимости нет.

Ну во-первых поосторожнее с модулем знаменателя. В рассматриваемой области знаменатель отрицательный, поэтому знак модуля меняется и модуль знаменателя равен $4n^2-n$. Во вторых Ваши опасения оправданы - предел отношения при сравнении с гармоническим рядом не существет из-за модуля косинуса (при n стремящемся к бесконечности он колеблется от 0 до 1), поэтому надо использовать другой признак сходимости.

[Cash]

$\frac{n^2(1+\frac{10}{n})}{n^3(\frac{1}{n}-4)}\left|\cos{\frac{n}{3}}\right|\sim \frac{1}{n}$
Для того, чтобы так записать, нужно $\left|\cos{\frac n3}\right|$ подпереть снизу константой, что не получится. Но таких "нехороших" $n$, что $\left|\cos{\frac n3}\right|$ близко к нулю достаточно немного. В частности, если $\left|\cos{\frac n3}\right|$ близко к нулю, то $\left|\cos{\frac {n+1}{3}}\right|$ уже от нуля отделён. И можно, например, подпереть снизу $\left|\cos{\frac {n}{3}}\right|+\left|\cos{\frac {n+1}{3}}\right|$. Или суммировать "через одно", выбирая из двух слагаемых ряда слагаемое с большим модулем косинуса.

[ewert]

Стандартный способ оценки -- подпереть модуль косинуса снизу квадратом косинуса и перейти к двойному углу.

[Mary84]

Я попробовала использовать признак сравнения рядов

$A_n=\frac{(n^2+10n)\left|\cos{\frac{n}{3}}\right |}{\left| n^2-4n^3\right|}\geq\frac{(n^2+10n)\cos^2{\frac{n}{3}}}{\left| n^2-4n^3\right|}=\left ( \cos^2{\frac{n}{3}}=\frac{1+\cos{\frac{2n}{3}}}{2} \right )=\frac{n^2+10n}{n^2-4n^3}+\frac{n^2+10n}{n^2-4n^3}\cdot\cos{\frac{2n}{3}} $

$\frac{n^2+10n}{n^2-4n^3}\cdot\cos{\frac{2n}{3}} $ сходится по Дирихле

а $\frac{n^2+10n}{n^2-4n^3}$ расходится, по предельному признаку сравнения с рядом $\frac{1}{n} $

Значит этот ряд расходится. Следовательно наш ряд тоже расходится.
Вывод:абсолютной сходимости нет.

[vicvolf]

Но надо аккуратнее записать. Сразу сократить на n и рассматривать ряд $\frac {n+10} {n-4n^2} cos(n/3)$. Затем, я уже писал, при $n>4$: $|n-4n^2|=4n^2-n$ и не забыть 1/2 при понижении степени, а то оно у Вас пропало. А так по сути верно!

[Mary84]

Точно, 1/2 я потеряла. А модуль с $\left| n-4n^2\right|$ я не снимала (забыла поставить скобки). Поэтому и не поменяла знаки так, как Вы показали. Я всё подкорректирую.

Спасибо Вам!!!