Две задачи по аналитической геометрии

[pavelnix]

Первая:
В евклидовом пространстве найти расстояние от точки

\[a = (5,1,4,7)\]

до плоскости P:

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {2x_1 - 4x_2 - 8x_3 + 13x_4 = - 19} \\ {x_1 + x_2 - x_3 + 2x_4 = 1} \\ \end{array}} \right. \]

Путь решения:
1) Найти три точки не лежащие на одной прямой и принадлежащие плоскости
2) Образовать из этих точек два вектора
3) Взять точку на плоскости

\[u = (u_1,u_2,u_3,u_4)\]

и получить вектор

\[au\]

4) Решить систему уравнений: скалярное произведение вектора на вектор в плоскости =0 (2 уравнения), точка

\[u = (u_1,u_2,u_3,u_4)\]

принадлежит плоскости (2 уравнения) (т.е. получим систему из 4 уравнений с 4 неизвестными)
Но преподавтельпредложил парметризовать тем самым получить систему из 2-ух уравнений с двумя неизвестными, а я не понял как это сделать

Вторая задача:
Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки

\[p_1 = (1,2)\]

и

\[p_2 = (1,3)\]

соответственно в точки

\[q_1 = (4,5)\]

и

\[q_2 = (4,6)\]

, а прямую

\[(2,3)+(1,0)t\]

- в прямую

\[(3,4)+(1,2)t\]

?
Сначало я параметризую точки, т.е. выберу точку

\[p_1 = (1,2)\]

и относительно ее

\[p_2 = (1,3)\]

будет представлять собой вектро

\[p_1p_2 = (0,1)\]

и т.д.

\[(4,5),(4,6),(2,3),(3,4)\]

Далее я не совсем понимаю что делать

[Brukvalub]

pavelnix писал(а):

Но преподавтельпредложил парметризовать тем самым получить систему из 2-ух уравнений с двумя неизвестными, а я не понял как это сделать Sad

Нужно выбрать в системе две переменные, определитель из коэффициентов при которых не равен 0, а две другие неизвестные считать параметрами-получится параметрическое задание двумерной плоскости в четырехмерном пространстве.

pavelnix писал(а):

Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки \[p_1 = (1,2)\] и \[p_2 = (1,3)\] соответственно в точки \[q_1 = (4,5)\] и \[q_2 = (4,6)\] , а прямую \[(2,3)+(1,0)t\] - в прямую \[(3,4)+(1,2)t\] ?

Попробуйте выписать общий вид двумерного аффинного преобразования с неопределёнными коэффициентами и наложить на него требуемые в задаче условия, после чего исследовать разрешимость получившихся условий на коэффициенты.

[pavelnix]

Brukvalub писал(а):

Нужно выбрать в системе две переменные, определитель из коэффициентов при которых не равен 0, а две другие неизвестные считать параметрами-получится параметрическое задание двумерной плоскости в четырехмерном пространстве.

А что делать с параметрами, когда я найду зависимоти переменных через них - опять нужно решать систему?

Brukvalub писал(а):

Попробуйте выписать общий вид двумерного аффинного преобразования с неопределёнными коэффициентами и наложить на него требуемые в задаче условия, после чего исследовать разрешимость получившихся условий на коэффициенты.

Общий вид:

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} X \\ Y \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & B \\ D & E \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} C \\ F \\ \end{array}} \right) \]

Для двух точек:

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ 5 \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & B \\ D & E \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} C \\ F \\ \end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ 6 \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & B \\ D & E \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} C \\ F \\ \end{array}} \right) \]

Найдем неподвижню точку, как пересечение прямых:

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)t_1 = \left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 4 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)t_2 = \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_0 } \\ {y_0 } \\ \end{array}} \right) \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_0 } \\ {y_0 } \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {2,5} \\ 3 \\ \end{array}} \right) \]

Для неподвижной точки тоже запишем:

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} {2,5} \\ 3 \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & B \\ D & E \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {2,5} \\ 3 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} C \\ F \\ \end{array}} \right) \]

Из этих трех матричных уравнений найдем

\[A,B,C,D,E,F\]

Далее для точки принадлежащей первой прямой (но не для точки пересечения) запишем преобразование:

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_1 } \\ {y_1 } \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & B \\ D & E \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} C \\ F \\ \end{array}} \right) \]

Осталось проверить

\[ (x_1 ,y_1 ) \in \left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 4 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)t \]

Правильно?

[Brukvalub]

Во второй задаче выкладки не проверял, а идея - верная. По первой задаче: задав многообразие параметрически, Вы находите в нем два линейно независимых вектора, с их помощью строите нормаль, начинающуюся в заданной точке и оканчивающуюся на многообразии - длина этой нормали и дает ответ.

[pavelnix]

Brukvalub писал(а):

По первой задаче: задав многообразие параметрически, Вы находите в нем два линейно независимых вектора, с их помощью строите нормаль, начинающуюся в заданной точке и оканчивающуюся на многообразии - длина этой нормали и дает ответ.

Как я понял
1. Многообразие - это плоскость
2. Два линейно-независимых вектора будут параметрически заданы
3. Скалярные произведения тоже будут содержать переменные и параметры, т.к. точка на плоскости (один из концов нормали) имеет 4 координаты.
Что-то как-то сумбурно

[Brukvalub]

pavelnix писал(а):

точка на плоскости (один из концов нормали) имеет 4 координаты.

На эти 4 координаты есть 4 условия: два уравнения, в пересечении задающие плоскость, и два уравнения - условия перпендикулярности нормали двум линейно независимым векторам из плоскости. Но подход преподавателя позволяет сразу оставить лишь 2 неизвестные - те самые параметры, которые задают плоскость.

[pavelnix]

То есть я вместо двух уравнений, задающих плоскость, записываю парметрическое уравнение для двух ЛНЗ векторов, линейная оболочка которых есть плоскость или я сейчас совсем не туда пошел

[Brukvalub]

Две координаты точки плоскости Вы можете задавать произвольно - это параметры, а две другие координаты выражаете из уравнений системы. Два ЛНВ Вы находите, например, выбрав на плоскости нач. точку и два конца этих самых линейно нез. векторов на плоскости.

[pavelnix]

Brukvalub писал(а):

Две координаты точки плоскости Вы можете задавать произвольно - это параметры

Это точка нормали?

[Brukvalub]

Нет, для начала, это - произвольная точка плоскости.

[pavelnix]

Зафиксировал две координаты:

\[x_1 = x_1^0 ,x_2 = x_2^0 \]

Получил систему:

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { - 8x_3 + 13x_4 = - 19 - 2x_1^0 + 4x_2^0 } \\ { - x_3 + 2x_4 = 1 - x_1^0 - x_2^0 } \\ \end{array}} \right. \]

Взял два вектора в плоскости:

\[ \overline {AB} = (x_1^b - x_1^a ,x_2^b - x_2^a ,x_3^b - x_3^a ,x_4^b - x_4^a ),\overline {AC} = (x_1^c - x_1^a ,x_2^c - x_2^a ,x_3^c - x_3^a ,x_4^c - x_4^a ) \]

Далее как я понимаю строим нормаль, но я все равно не понимаю как можно уменьшить число неизвестных: 4 координаты точки нормали - они в моей голове остались как неизвестные Или как раз здесь надо взять линейную комбинацию в-ов AB и AC

[Brukvalub]

pavelnix писал(а):

Зафиксировал две координаты:

\[x_1 = x_1^0 ,x_2 = x_2^0 \]

не зафиксировал, а освободил, то есть сделал их параметрами.

pavelnix писал(а):

Получил систему:

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { - 8x_3 + 13x_4 = - 19 - 2x_1^0 + 4x_2^0 } \\ { - x_3 + 2x_4 = 1 - x_1^0 - x_2^0 } \\ \end{array}} \right. \]

теперь нужно решить систему, иначе все последующие рассуждения делаются абстрактными, а Вам нужна конкретика.Итак, жду решения системы.

[pavelnix]

Если не ошибся, то решение такое:

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x_3 = - 3x_1^0 - \frac{5}{3}x_2^0 + 18} \\ {x_4 = - 2x_1^0 - \frac{4}{3}x_2^0 + 9} \\ \end{array}} \right. \]

[Brukvalub]

Теперь, придавая параметрам разные значения, можно получить два линейно нез. вектора из этой плоскости, да и,вообще, любая точка плоскости соответствует не 4-м, а только 2-м значениям неизвестных - параметров

\[x_1^0 \;;\;x_2^0\]

[pavelnix]

То есть любая точка плоскости имеет коодинаты:

\[ (x_1^0 ,x_2^0 , - 3x_1^0 - \frac{5}{3}x_2^0 + 18, - 2x_1^0 - \frac{4}{3}x_2^0 + 9) \]

А далее я определяю два ЛНЗ вектора и записываю скалярное произведение? так да?