2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Две задачи по аналитической геометрии
Сообщение28.05.2007, 15:38 
Первая:
В евклидовом пространстве найти расстояние от точки \[a = (5,1,4,7)\] до плоскости P:
\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {2x_1  - 4x_2  - 8x_3  + 13x_4  =  - 19}  \\
   {x_1  + x_2  - x_3  + 2x_4  = 1}  \\
\end{array}} \right.
\]
Путь решения:
1) Найти три точки не лежащие на одной прямой и принадлежащие плоскости
2) Образовать из этих точек два вектора
3) Взять точку на плоскости \[u = (u_1,u_2,u_3,u_4)\] и получить вектор \[au\]
4) Решить систему уравнений: скалярное произведение вектора на вектор в плоскости =0 (2 уравнения), точка \[u = (u_1,u_2,u_3,u_4)\] принадлежит плоскости (2 уравнения) (т.е. получим систему из 4 уравнений с 4 неизвестными)
Но преподавтельпредложил парметризовать тем самым получить систему из 2-ух уравнений с двумя неизвестными, а я не понял как это сделать :(

Вторая задача:
Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки \[p_1  = (1,2)\] и \[p_2  = (1,3)\] соответственно в точки \[q_1  = (4,5)\] и \[q_2  = (4,6)\] , а прямую \[(2,3)+(1,0)t\] - в прямую \[(3,4)+(1,2)t\] ?
Сначало я параметризую точки, т.е. выберу точку \[p_1  = (1,2)\] и относительно ее \[p_2  = (1,3)\] будет представлять собой вектро \[p_1p_2  = (0,1)\] и т.д. \[(4,5),(4,6),(2,3),(3,4)\] Далее я не совсем понимаю что делать :(

 
 
 
 
Сообщение28.05.2007, 22:30 
Аватара пользователя
pavelnix писал(а):
Но преподавтельпредложил парметризовать тем самым получить систему из 2-ух уравнений с двумя неизвестными, а я не понял как это сделать Sad
Нужно выбрать в системе две переменные, определитель из коэффициентов при которых не равен 0, а две другие неизвестные считать параметрами-получится параметрическое задание двумерной плоскости в четырехмерном пространстве.
pavelnix писал(а):
Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки \[p_1 = (1,2)\] и \[p_2 = (1,3)\] соответственно в точки \[q_1 = (4,5)\] и \[q_2 = (4,6)\] , а прямую \[(2,3)+(1,0)t\] - в прямую \[(3,4)+(1,2)t\] ?
Попробуйте выписать общий вид двумерного аффинного преобразования с неопределёнными коэффициентами и наложить на него требуемые в задаче условия, после чего исследовать разрешимость получившихся условий на коэффициенты.

 
 
 
 
Сообщение29.05.2007, 13:23 
Brukvalub писал(а):
Нужно выбрать в системе две переменные, определитель из коэффициентов при которых не равен 0, а две другие неизвестные считать параметрами-получится параметрическое задание двумерной плоскости в четырехмерном пространстве.


А что делать с параметрами, когда я найду зависимоти переменных через них - опять нужно решать систему?

Brukvalub писал(а):
Попробуйте выписать общий вид двумерного аффинного преобразования с неопределёнными коэффициентами и наложить на него требуемые в задаче условия, после чего исследовать разрешимость получившихся условий на коэффициенты.


Общий вид:
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   X  \\
   Y  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & B  \\
   D & E  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   C  \\
   F  \\
\end{array}} \right)
\]
Для двух точек:
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   4  \\
   5  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & B  \\
   D & E  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   1  \\
   2  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   C  \\
   F  \\
\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c}
   4  \\
   6  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & B  \\
   D & E  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   1  \\
   3  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   C  \\
   F  \\
\end{array}} \right)
\]
Найдем неподвижню точку, как пересечение прямых:
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   2  \\
   3  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1  \\
   0  \\
\end{array}} \right)t_1  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   3  \\
   4  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1  \\
   2  \\
\end{array}} \right)t_2  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {x_0 }  \\
   {y_0 }  \\
\end{array}} \right) \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {x_0 }  \\
   {y_0 }  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2,5}  \\
   3  \\
\end{array}} \right)
\]
Для неподвижной точки тоже запишем:
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2,5}  \\
   3  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & B  \\
   D & E  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2,5}  \\
   3  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   C  \\
   F  \\
\end{array}} \right)
\]
Из этих трех матричных уравнений найдем \[A,B,C,D,E,F\]
Далее для точки принадлежащей первой прямой (но не для точки пересечения) запишем преобразование:
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {x_1 }  \\
   {y_1 }  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & B  \\
   D & E  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   2  \\
   3  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   C  \\
   F  \\
\end{array}} \right)
\]
Осталось проверить \[
(x_1 ,y_1 ) \in \left( {\begin{array}{*{20}c}
   3  \\
   4  \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1  \\
   2  \\
\end{array}} \right)t
\]
Правильно?

 
 
 
 
Сообщение29.05.2007, 16:07 
Аватара пользователя
Во второй задаче выкладки не проверял, а идея - верная. По первой задаче: задав многообразие параметрически, Вы находите в нем два линейно независимых вектора, с их помощью строите нормаль, начинающуюся в заданной точке и оканчивающуюся на многообразии - длина этой нормали и дает ответ.

 
 
 
 
Сообщение29.05.2007, 18:09 
Brukvalub писал(а):
По первой задаче: задав многообразие параметрически, Вы находите в нем два линейно независимых вектора, с их помощью строите нормаль, начинающуюся в заданной точке и оканчивающуюся на многообразии - длина этой нормали и дает ответ.

Как я понял
1. Многообразие - это плоскость
2. Два линейно-независимых вектора будут параметрически заданы
3. Скалярные произведения тоже будут содержать переменные и параметры, т.к. точка на плоскости (один из концов нормали) имеет 4 координаты.
Что-то как-то сумбурно :(

 
 
 
 
Сообщение29.05.2007, 18:26 
Аватара пользователя
pavelnix писал(а):
точка на плоскости (один из концов нормали) имеет 4 координаты.
На эти 4 координаты есть 4 условия: два уравнения, в пересечении задающие плоскость, и два уравнения - условия перпендикулярности нормали двум линейно независимым векторам из плоскости. Но подход преподавателя позволяет сразу оставить лишь 2 неизвестные - те самые параметры, которые задают плоскость.

 
 
 
 
Сообщение29.05.2007, 18:36 
То есть я вместо двух уравнений, задающих плоскость, записываю парметрическое уравнение для двух ЛНЗ векторов, линейная оболочка которых есть плоскость или я сейчас совсем не туда пошел

 
 
 
 
Сообщение29.05.2007, 18:46 
Аватара пользователя
Две координаты точки плоскости Вы можете задавать произвольно - это параметры, а две другие координаты выражаете из уравнений системы. Два ЛНВ Вы находите, например, выбрав на плоскости нач. точку и два конца этих самых линейно нез. векторов на плоскости.

 
 
 
 
Сообщение29.05.2007, 19:52 
Brukvalub писал(а):
Две координаты точки плоскости Вы можете задавать произвольно - это параметры

Это точка нормали?

 
 
 
 
Сообщение29.05.2007, 20:10 
Аватара пользователя
Нет, для начала, это - произвольная точка плоскости.

 
 
 
 
Сообщение30.05.2007, 11:01 
Зафиксировал две координаты:\[x_1  = x_1^0 ,x_2  = x_2^0 \]
Получил систему:
\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   { - 8x_3  + 13x_4  =  - 19 - 2x_1^0  + 4x_2^0 }  \\
   { - x_3  + 2x_4  = 1 - x_1^0  - x_2^0 }  \\
\end{array}} \right.
\]
Взял два вектора в плоскости:
\[
\overline {AB}  = (x_1^b  - x_1^a ,x_2^b  - x_2^a ,x_3^b  - x_3^a ,x_4^b  - x_4^a ),\overline {AC}  = (x_1^c  - x_1^a ,x_2^c  - x_2^a ,x_3^c  - x_3^a ,x_4^c  - x_4^a )
\]
Далее как я понимаю строим нормаль, но я все равно не понимаю как можно уменьшить число неизвестных: 4 координаты точки нормали - они в моей голове остались как неизвестные :( Или как раз здесь надо взять линейную комбинацию в-ов AB и AC

 
 
 
 
Сообщение30.05.2007, 11:09 
Аватара пользователя
pavelnix писал(а):
Зафиксировал две координаты:\[x_1 = x_1^0 ,x_2 = x_2^0 \]
не зафиксировал, а освободил, то есть сделал их параметрами.
pavelnix писал(а):
Получил систему:
\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { - 8x_3 + 13x_4 = - 19 - 2x_1^0 + 4x_2^0 } \\ { - x_3 + 2x_4 = 1 - x_1^0 - x_2^0 } \\ \end{array}} \right. \]
теперь нужно решить систему, иначе все последующие рассуждения делаются абстрактными, а Вам нужна конкретика.Итак, жду решения системы.

 
 
 
 
Сообщение30.05.2007, 15:01 
Если не ошибся, то решение такое:
\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {x_3  =  - 3x_1^0  - \frac{5}{3}x_2^0  + 18}  \\
   {x_4  =  - 2x_1^0  - \frac{4}{3}x_2^0  + 9}  \\
\end{array}} \right.
\]

 
 
 
 
Сообщение30.05.2007, 15:12 
Аватара пользователя
Теперь, придавая параметрам разные значения, можно получить два линейно нез. вектора из этой плоскости, да и,вообще, любая точка плоскости соответствует не 4-м, а только 2-м значениям неизвестных - параметров \[x_1^0 \;;\;x_2^0\]

 
 
 
 
Сообщение30.05.2007, 15:56 
То есть любая точка плоскости имеет коодинаты:
\[
(x_1^0 ,x_2^0 , - 3x_1^0  - \frac{5}{3}x_2^0  + 18, - 2x_1^0  - \frac{4}{3}x_2^0  + 9)
\]
А далее я определяю два ЛНЗ вектора и записываю скалярное произведение? так да?

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group