Хм. Правильно понимаю, что под "долей" орлов ТС действительно имеет в виду долю, т.е. отношение числа орлов к числу бросков?
Пусть

- независимые бернуллевские величины,

,

- число орлов после

бросаний, и нас интересует предел при

вероятности

Эта вероятность не превосходит вероятности последнего события в пересечении, поэтому при

её предел равен нулю по любому из законов больших чисел:

При остальных

введём случайные величины

,

. И обозначим через

частичные суммы этих величин. Интересующая нас вероятность перепишется в виде

Таким образом, это есть вероятность случайному блужданию с нулевым или отрицательным матожиданием ни разу не попасть на положительную полуось до момента

включительно. Если

, то это блуждание с нулевым сносом, и для него такая вероятность стремится к нулю с ростом

, поскольку супремум этого блуждания равен

п.н.
А вот если

, то

имеет собственный предел, равный
где (в обозначениях А.А.Боровкова, см. ТВ, гл.11, параграф 1, следствие 2)

- номер первой неположительной суммы,

- значение первой неположительной суммы.
К сожалению, значения

или

вычислить аналитически возможно в редких ситуациях. Одна из таких ситуаций - когда наше блуждание целочисленно и полунепрерывно сверху, т.е. максимальное положительное значение скачка равно 1. Наши скачки равны

и

с равными вероятностями, целочисленностью тут не пахнет, но если поделить значения (суммы тогда тоже поделятся) на

, то при

искомую вероятность можно посчитать.
Пусть

и

, т.е.

для некоторого натурального

. Пусть

. Снабдим тильдами номер первой неположительной суммы и её значение для этой новой последовательности сумм.
Тогда

где число

таково, что для производящей функции

выполнено

. У уравнения

два корня:

и

, нам нужен второй.
П.ф. легко выписывается, уравнение получается

.
Например, если

, т.е.

, то

, и

.
В случаях, когда

, значения

или

, а следовательно, и искомый предел вероятности, можно получать разве только моделированием.