Хм. Правильно понимаю, что под "долей" орлов ТС действительно имеет в виду долю, т.е. отношение числа орлов к числу бросков?
Пусть
- независимые бернуллевские величины,
,
- число орлов после
бросаний, и нас интересует предел при
вероятности
Эта вероятность не превосходит вероятности последнего события в пересечении, поэтому при
её предел равен нулю по любому из законов больших чисел:
При остальных
введём случайные величины
,
. И обозначим через
частичные суммы этих величин. Интересующая нас вероятность перепишется в виде
Таким образом, это есть вероятность случайному блужданию с нулевым или отрицательным матожиданием ни разу не попасть на положительную полуось до момента
включительно. Если
, то это блуждание с нулевым сносом, и для него такая вероятность стремится к нулю с ростом
, поскольку супремум этого блуждания равен
п.н.
А вот если
, то
имеет собственный предел, равный
где (в обозначениях А.А.Боровкова, см. ТВ, гл.11, параграф 1, следствие 2)
- номер первой неположительной суммы,
- значение первой неположительной суммы.
К сожалению, значения
или
вычислить аналитически возможно в редких ситуациях. Одна из таких ситуаций - когда наше блуждание целочисленно и полунепрерывно сверху, т.е. максимальное положительное значение скачка равно 1. Наши скачки равны
и
с равными вероятностями, целочисленностью тут не пахнет, но если поделить значения (суммы тогда тоже поделятся) на
, то при
искомую вероятность можно посчитать.
Пусть
и
, т.е.
для некоторого натурального
. Пусть
. Снабдим тильдами номер первой неположительной суммы и её значение для этой новой последовательности сумм.
Тогда
где число
таково, что для производящей функции
выполнено
. У уравнения
два корня:
и
, нам нужен второй.
П.ф. легко выписывается, уравнение получается
.
Например, если
, т.е.
, то
, и
.
В случаях, когда
, значения
или
, а следовательно, и искомый предел вероятности, можно получать разве только моделированием.