Ограниченность

[Ward]

Здравствуйте!

Как строго показать, что $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}=x?$

[SpBTimes]

Задайте вашу последовательность рекуррентно: $x_n = \sqrt{x + x_{n-1}}$ с начальным приближением $x_0 = x$
Дальше исследуйте на монотонность. Ограниченность сверху имеется, скажем, числом $\sqrt{x} + 1$

[Ward]

вообще-то начальное приближение $x_0=0$

-- 27.01.2013, 11:24 --

а как понять, что числом $\sqrt{x}+1$ она сверху ограничена?

[мат-ламер]

Ward в сообщении #676645 писал(а):

Здравствуйте!

Как строго показать, что $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots}}}=x?$

В общем случае это не так. Хотя для некоторых $x$ это верно. Наример при $x=0$.

[Ward]

Вроде понял, но не могу показать например, что она сверху ограничена $\sqrt{x}+1$

-- 27.01.2013, 11:37 --

По индукции можно сделать. А без индукции никак?

[SpBTimes]

По индукции проще всего, как мне кажется.
И интереснее рассматривать задачу сходимости данной последовательности в принципе. В качестве частного случая получите и ответ на свой вопрос.

Ward в сообщении #676652 писал(а):

вообще-то начальное приближение $x_0=0$

Это не важно

[ewert]

SpBTimes в сообщении #676660 писал(а):

Это не важно

Не важно только при положительных иксах, а при отрицательных или при нуле -- важно.

Вообще же иксов чересчур много -- в глазах рябит. Надо обозначить $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\dots}}}=x\equiv\lim\limits_{n\to\infty}x_n$, где $x_{n+1}=\sqrt{a+x_n}$. Потом найти явное значение предела и доказать, что последовательность монотонна и ограничена с соответствующей стороны именно этим значением.

[SpBTimes]

ewert
Ну при нуле ноль автоматом и получится, а про отрицательные я вообще не понял

ewert в сообщении #676693 писал(а):

Вообще же иксов чересчур много -- в глазах рябит.

это да.

[ewert]

SpBTimes в сообщении #676707 писал(а):

Ну при нуле ноль автоматом и получится, а про отрицательные я вообще не понял

Дело в том, что подобное бесконечное выражение имеет смысл лишь как предел соответствующей последовательности. И тогда его значение зависит, вообще говоря, от начального приближения. И ниоткуда не следует (если это не оговорить специально), что $x_0$ равен именно $a$. Если $a>0$, то предел действительно существует и один и тот же при всех начальных значениях. Если $a=0$, то при $x_0=0$ мы действительно получим ноль, но вот при всех остальных (допустимых) $x_0$ -- наоборот, единицу. Если же $a<0$, то ситуация качественно ровно такая же, если под допустимыми значениями $x_0$ понимать те, при которых эта последовательность вообще корректна (и если такие допустимые значения вообще существуют, т.е. если $a$ не слишком велико по абсолютной величине).