Приближение неберущегося интеграла

[FFFF]

Есть такой интеграл

$$ \int_a^\infty \frac{e^{-b x}dx}{x^2\sqrt{x^2-1}} \ a>1, \ b>0 $$

Можно ли его приблизить какой-нибудь функцией от $a$ ($b$ пусть фиксировано). На бесконечности он быстро убывает, решил попробовать разложить один из сомножителей в Тейлора около $a$, но тогда подынтегральная функция в некоторых местах станет отрицательной. Хочется приблизить такой функцией, все значения которой были бы положительны.

[mihiv]

Можно попробовать представить функцию под интегралом в виде: $f(x)=e^{-bx-2\ln x-\frac12 \ln (x^2-1)}$, слагаемые с логарифмами в показателе экспоненты разложить по формуле Тэйлора в точке $a$, до 1-ого порядка по $(x-a)$. Приближение будет тем точнее, чем больше $a$.

[FFFF]

mihiv
Выглядит неплохо, спасибо большое! Тем более $a$ действительно велико.

[Vince Diesel]

Можно разложить подынтегральную функцию (без экспоненты) по степеням $x^{-1}$ и взять первые несколько членов. При интегрировании получатся выражения с интегральной экспонентой $\mathrm{Ei}$. Математические пакеты умеют это делать. Потом разложить результат в ряд по степеням $a^{-1}$.

[FFFF]

Vince Diesel

да, сделал похоже: "из физических соображений" я разложил подынтегральную функцию без экспоненты на бесконечности, получил $\frac{1}{x^3}$ Потом пару раз по частям и получается та же интегральная экспонента.

[mserg]

Народ в некоторых темах развлекается подбором аппроксимирующей функции по экспериментальным данным. Интеграл можно численно посчитать для различных комбинаций значений $a$ и $b$ – и табличку выложить на сайт, объявив их «экспериментальными данными». Далее вместе развлекаемся подбором аналитической функции, которая аппроксимирует эти данные.

Короче - если будут данные (и прочие пожелания по поведению функции) – то что-нибудь удобоваримое подберем.

[FFFF]

mserg
Вот это деятельность! Ну эта задачка того не стоит - учебная=)
Просто удивило, что Математика не смогла не то что посчитать этот интеграл, но и выразить его в спецфункциях.