Тригонометрия, док-во

[samuil]

1) Как найти значение $\cos(50^o)\cos(10^o)\sin(20^o)$? Подскажите, пожалуйста -- с чего начать.

Есть мысль домножить на $\sin(10^o)$ числитель и знаменатель, чтобы свести к формуле синуса двойного угла, но что-то не выходит из этого ничего хорошего. Хочется все привести к одному углу, но пока что не получается.

2) Доказать тождество:

$\dfrac{\sin^2(3\alpha)-\sin^2(\alpha)}{\cos^2(3\alpha)-\cos(5\alpha)\cos\alpha}=2\cos(2\alpha)$

Можно преобразовать числитель $\sin^2(3\alpha)-\sin^2(\alpha)=(\sin(3\alpha)-\sin\alpha)(\sin(3\alpha)-\sin\alpha)=4\cos(2\alpha)\sin^2(2\alpha)$. Но что делать со знаменателем?

[ИСН]

$\circ$

-- Пт, 2013-01-25, 18:37 --

В первом синусы и косинусы случайно не перепутаны местами?

[samuil]

ИСН в сообщении #676154 писал(а):

$\circ$

-- Пт, 2013-01-25, 18:37 --

В первом синусы и косинусы случайно не перепутаны местами?

Не перепутаны, а как могло быть, чтобы все получилось ок?

[ИСН]

Могло бы быть так:

$$\sin50^\circ\sin10^\circ\cos20^\circ=\cos40^\circ\cos80^\circ\cos20^\circ$$

потом домножаем и делим на $\sin20^\circ$ и трижды применяем синус двойного угла.

[samuil]

Спасибо. Вроде, вот так.

$\sin50^\circ\sin10^\circ\cos20^\circ=\sin(90^\circ-40^\circ)\sin(90^\circ-80^\circ)\cos(20^\circ)=\cos40^\circ\cos80^\circ\cos20^\circ=$

$=\dfrac{2\cos40^\circ\cos80^\circ\cos20^\circ\sin20^\circ}{2\sin20^\circ}=\dfrac{2\cos40^\circ\cos80^\circ\sin40^\circ}{4\sin20^\circ}=$

$=\dfrac{2\sin80^\circ\cos80^\circ}{8\sin20^\circ}=\dfrac{\sin160^\circ}{8\sin20^\circ}=\dfrac{\sin(180^\circ-20^\circ)}{8\sin20^\circ}=\dfrac{1}{8}$

А как быть с тождеством?

[ИСН]

В знаменателе дважды применить тайное знание о том, что произведение косинусов - это сумма косинусов.

[apriv]

samuil в сообщении #676124 писал(а):

2) Доказать тождество:

$\dfrac{\sin^2(3\alpha)-\sin^2(\alpha)}{\cos^2(3\alpha)-\cos(5\alpha)\cos\alpha}=2\cos(2\alpha)$

Вот тут мне говорили, что когомологии — это уже не элементарная математика (а косинусы, почему-то, элементарные). Тем не менее, когомологии мне подсказывают, что для некоторого $t$ выполнено $\cos(\alpha)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ и $\sin(\alpha)=\frac{2t}{1+t^2}$, после чего указанное тождество превращается в алгебраическое тождество, которое уж либо верно, либо неверно — проверку осилит даже бездушный компьютер.

[nnosipov]

apriv в сообщении #677095 писал(а):

Тем не менее, когомологии мне подсказывают, что для некоторого $t$ выполнено $\cos(\alpha)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ и $\sin(\alpha)=\frac{2t}{1+t^2}$,

Зачем же так вычурно? Обычно заменяют косинус на $(z+1/z)/2$, а синус на $(z-1/z)/2i$.

[apriv]

Это уж кому как нравится; так еще с $i$ возиться придется, да и никаких когомологий не видно в Вашей замене, скучно.

[gris]

Если правильно преобразовать числитель $\sin^2 3\alpha-\sin^2\alpha=(\sin 3\alpha-\sin\alpha)(\sin3\alpha+\sin\alpha)=2\cos2\alpha\sin^2 2\alpha$, то можно воспользоваться методом притягивания за уши к ответу. А именно знаменателя к квадрату синуса двойной альфы.(А потом еще пятёрки и единички к двойке и тройке.)

$\cos^2 3\alpha - \cos 5\alpha \cos \alpha-\sin^2 2\alpha+\sin^2 2\alpha=$

$=\big[\cos^2 3\alpha-\frac12(\cos 6\alpha+\cos 4\alpha)-\sin^2 2\alpha\big]+\sin^2 2\alpha=$

$=\big[\cos^2 3\alpha-\frac12(\cos^2 3\alpha-\sin^2 3\alpha+\cos^2 2\alpha-\sin^2 2\alpha)-\sin^2 2\alpha\big]+\sin^2 2\alpha=$

$=\frac12\big[2\cos^2 3\alpha-(\cos^2 3\alpha-\sin^2 3\alpha+\cos^2 2\alpha-\sin^2 2\alpha)-2\sin^2 2\alpha\big]+\sin^2 2\alpha=$

Ну дальше ясно, я думаю. Метод тупой, конечно, но помогает, когда лень придумывать что-то красивое