Целостные и нецелостные кольца

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Не могу до конца понять, что такое целостное коммутативное кольцо. Вроде уже понял, что значит $0$ в кольце. Это когда $a+0=a$, где$ a\in{K}$. При этом не должно быть верно $a0=a$. Но вот дальше- каким образом может быть, чтобы $ab=0$и ни $a$ ни $b$ не были равны нулю? Может быть, они не могут быть равны $0$ одновременно? Пример из Шафаревича совсем сбил меня с толку. Да- и ещё: как обозначать нулевой элемент, чтобы не было ошибки в формуле?

[Sonic86]

Nikolai Moskvitin в сообщении #676150 писал(а):

Но вот дальше- каким образом может быть, чтобы $ab=0$и ни $a$ ни $b$ не были равны нулю?

Возьмите матрицы $2\times 2$, заполненных нулями, исключая один элемент в каждой матрице, перемножьте. Порой получается нуль по сложению.

[Joker_vD]

Nikolai Moskvitin в сообщении #676150 писал(а):

Но вот дальше- каким образом может быть, чтобы $ab=0$ и ни $a$ ни $b$ не были равны нулю?

Ну давайте рассмотрим множество пар вида $(x,y)$, где $x,y\in\mathbb R$, введем сложение по правилу $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$, умножение — как $(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1\cdot x_2,y_1 \cdot y_2)$. Нулем будет $(0,0)$, а теперь перемножьте $(2,0)$ и $(0,3)$.

-- Пт янв 25, 2013 20:09:41 --

Nikolai Moskvitin в сообщении #676150 писал(а):

как обозначать нулевой элемент, чтобы не было ошибки в формуле?

$0$. А какие еще варианты?

[Sonic86]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #676221 писал(а):

$0$. А какие еще варианты?

Я сначала было подумал, что можно спутать нейтральный элемент по сложению и нуль в группе (т.е. $z: (\forall x)zx=z$), но усомнился. К тому же, в кольцах вроде такого и не бывает.

[Nikolai Moskvitin]

Joker_vD в сообщении #676221 писал(а):

$0$. А какие еще варианты?

Просто при написании произведения одного элемента кольца на нулевой элемент программа спрашивает, индекс это или степень :).

[Joker_vD]

(Оффтоп)

А, ну просто знак умножения перед цифрами принято писать: $0a=0$, но $a\cdot0=0$. Хотите — пишите $o$ или $\matcal O$, или $\mathscr O$, или $\underline0$, или $\dot0$, или... только предупредите заранее, что это ноль.