УМФ уравнение

[vasyakk]

Помогите, пожалуйста, с уравнением.
Пробовала решать методом Крылова, не помогло. Преподаватель сказал, что здесь, например, можно "подобрать" функцию вида:

$$V(x,t) = g(x) \cos t$$

и решать каким не помню методом. Подобные уравнения встречала только с однородными условиями, а эти сбивают меня с толку. Знать бы хотя бы, что это за тип уравнения и каким методом решать?

$$U_t_t - a^2 U_x_x = e^{-x} \cos t$$

$$\begin{cases} U(0, t) = 0\\ U_x(l, t) = b \cos t\\ \end{cases}\\ \begin{cases} U(x, 0) = 0\\ U_t(x, 0) = 0\\ \end{cases}$$

[wronskian]

Посмотрите, вот допустим у нас задача с неоднородными граничными условиями:

$$ \[{u_{tt}} = {a^2}{u_{xx}} + f(x,t)\] $$

$$\[\begin{array}{l} u(x,0) = {u_0}(x),\quad u(0,t) = {\mu _1}(t)\\ {u_t}(x,0) = {u_1}(x),\quad u(l,t) = {\mu _2}(t) \end{array}\]$$

Тогда $u=v+w$, где $\[w = {\mu _1}(t) + \frac{x}{l}({\mu _2}(t) - {\mu _1}(t))\]$.
Затем получаем условия для $v$

PS. Правда похоже, что у вас $x$ и $t$ поменялись местами

[vasyakk]

Спасибо. Вот меня очень смущает, что в краевых условиях производная по х стоит. На что она влияет и что означает в физическом смысле?

[ewert]

vasyakk в сообщении #676029 писал(а):

На что она влияет и что означает в физическом смысле?

В физическом смысле -- ничего решительно, она тупо втыкнута в формальную задачу как она есть. В математическом же -- прислушайтесь к своему преподавателю. Он там откровенно рекомендовал (не менее тупо, но он ведь и тупо математик) представить искомую функцию как сумму новой искомой плюс вот то выражение, удовлетворяющее только граничным условиям. "Выражение" угадывается тривиально. Потом -- стандартная задачка с однородными граничными условиями.

[vasyakk]

В учебнике Тихонова, Самарского посмотрела общую первую краевую задачу.
$u = v + U$
$U = \frac{x^2}{l} b\cos t$ - посчитано по формуле, упомянутой wronskian'ом.
Начальными условиями для v должны быть:
$v(x, 0) = \varphi (x) - U(x, 0)$\\ $v_t(x, 0) = \psi (x) - U_t(x, 0)$
где \varphi, \psi - начальные условия для функции $u$ (искомая), т.е. равны нулю.
А краевые будут нулевыми.
Я здесь сильно сомневаюсь, взяла в качестве \mu_2(t) формулу bx\cos(t), потому что в общей первой краевой задаче краевое условие $u(l, t) = {\mu}_2(t)$, а в моей задаче стоит еще производная по x, т.е. привела краевые условия к виду $u(0, t) = 0\\ u(l, t) = bx\cos(t)$. Получается, что свели задачу для u(x, t) к краевой задаче для v(x, t) при нулевых граничных условиях.
$v_t_t = a^2 v_x_x + F(x, t)$, где $F(x, t) = f(x, t) - (U_t_t - a^2 U_x_x)

$v(x, 0) = -\frac{x^2}{l} b$\\ $v_t(x, 0) = 0$

Я правильно делаю?

[vasyakk]

даже сведенная задача с однородными краевыми условиями у меня не решается. гигантские выражения получаются