Критерии независимости.

[xemofil]

Есть данные о поступлении в ВУЗ.

$1400$ юношей, $50%$ зачислено($700$)
$1600$ девушек, $37.5%$ зачислено ($600$)

Предложить критерий проверки гипотезы о независимости факта зачисления от пола.


Верно ли я понял, что нам необходимо доказать, что эти две выборки относятся к одной генеральной совокупности? И каким образом это сделать? Есть предположение, что возможно это сделать через критерий Фишера, по дисперсиям.

[--mS--]

xemofil в сообщении #675545 писал(а):

Верно ли я понял, что нам необходимо доказать, что эти две выборки относятся к одной генеральной совокупности?

Верно.

xemofil в сообщении #675545 писал(а):

И каким образом это сделать? Есть предположение, что возможно это сделать через критерий Фишера, по дисперсиям.

Критерий Фишера предназначен для проверки равенства дисперсий двух выборок из нормального распределения. У Вас же две выборки из распределения Бернулли. Поищите критерий для проверки равенства долей признака.

Вот, например: http://kurs.ido.tpu.ru/courses/theory_v ... tema13.htm

[xemofil]

Подсчитал. Получилось значение $6.89$
По вашей ссылке значение сравнивается с некой величиной $Z_{0,99} = Z_{1-\alpha/2} = 2.33$ по какой то таблице приложений. Пересмотрел множество таблиц, величина $Z$ упоминается лишь в таблице значения функции Лапласа, а значение 2.33 вообще нигде не встречается. Непонятно, с чем сравнивать. И какой уровень значимости следует взять для решения моего задания? Изначально он не задан, значит 0.05?

[--mS--]

Статистика критерия при больших объёмах выборки имеет распределение, близкое к стандартному нормальному. Вот с квантилями этого распределения и следует сравнивать. В примере для стандартного нормального распределения $\mathsf P(|X|>2.33)\approx 0.02$.
Да, если уровень не задан, имеет смысл брать $0.05$. Но здесь можно брать любой уровень: получившееся у Вас значение статистики критерия превзойдёт критическую точку для нормального распределения при любом более-менее разумном уровне. Даже при $\alpha=0.0000001$.

[xemofil]

Значит всё таки зависит от пола..

Не совсем понял.
Вот квантили стандартного нормального распределения

Вероятность, % $99,99 99,90 99,00 97,72 97,50 95,00 90,00 84,13 50,00$
Квантиль $3,715 3,090 2,326 2,000 1,960 1,645 1,282 1,000 0,000$

Где тут 0.02, 0.05 или иные уровни значимости? Тут вижу лишь зависимость от вероятности.

Или они тут не играют особой роли? Просто вообще не понял эту формулу
$P(lXl>2.33) \approx 0.02$

[--mS--]

В любом учебнике почитайте, откуда берутся критические точки (значения, с которыми сравнивают статистику критерия) в любых критериях.

[Viktor_2]

http://www.soc-research.info/quantitative/7.html

http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/lec/node49.html

http://www.math.spbu.ru/Teorver/preps/l ... ATIST1.pdf (пример 19, раздел 3.6)

[xemofil]

Благодарю вас, очень полезные книжки!

[--mS--]

Абсолютно ни к чему использовать в этой задаче критерий хи-квадрат. Тем более, что для таблицы $2\times 2$ это абсолютно то же самое, что и критерий выше, только всё в квадрат возведено: и статистика, и критическая точка. ЦПТ не пропьёшь.

[Александрович]

xemofil в сообщении #675545 писал(а):

Есть данные о поступлении в ВУЗ.

$1400$ юношей, $50%$ зачислено($700$)
$1600$ девушек, $37.5%$ зачислено ($600$)

Предложить критерий проверки гипотезы о независимости факта зачисления от пола.

Предлагаю. По каждой выборке построить доверительный интервал для генеральной доли. Посмотреть, не пересекаются ли они?

[--mS--]

(Оффтоп)

Риторический вопрос: и как связан размер получившегося критерия с уровнями доверия интервалов? На каком уровне критерий будет отвергать гипотезу или, наоборот, какие брать уровни доверия для получения критерия с заданной вероятностью ошибки первого рода?

[Александрович]

--mS-- в сообщении #675969 писал(а):

... как связан размер получившегося критерия с уровнями доверия интервалов? На каком уровне критерий будет отвергать гипотезу или, наоборот, какие брать уровни доверия для получения критерия с заданной вероятностью ошибки первого рода?

Неужели всё это на сегодняшний момент времени так и не исследовано?

[--mS--]

Что именно "не исследовано"? Знаете ли Вы, какой будет уровень у предлагаемого Вами критерия? Да нет, это давно исследовано: не знаете.

[Александрович]

Александрович в сообщении #675968 писал(а):

xemofil в сообщении #675545 писал(а):

Есть данные о поступлении в ВУЗ.

$1400$ юношей, $50%$ зачислено($700$)
$1600$ девушек, $37.5%$ зачислено ($600$)

Предложить критерий проверки гипотезы о независимости факта зачисления от пола.

Предлагаю. По каждой выборке построить доверительный интервал для генеральной доли. Посмотреть, не пересекаются ли они?

[--mS--]

От повторения даже трижды размер критерия не найдётся.