Невырожденная матрица

[Alex992]

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 2 \end{pmatrix} $$

Можно ли быстро сделать вывод о невыраженности этой матрицы? То есть не применяя алгоритмы приведения её к треугольному виду. Как доказать?

[Sonic86]

По-моему, привести эту матрицу к диагональному виду очень просто, чтобы искать какие-то другие средства.

[Евгений Машеров]

Быстрее всего через собственные значения (если, конечно, в задании предполагается, что студент уже этим владеет)
Рассмотрим матрицу, как сумму состоящей из одних единиц (ранг, очевидно, один, одно собственное значение единица, остальные нули) и единичной. После прибавления единичной одно собственное значение равно 2, остальные 1.
Да, значение определителя=2 получили "на сдачу".

[Alex992]

1 + n же определитель исходной матрицы. Нет разве?

[nnosipov]

Alex992 в сообщении #676021 писал(а):

одно собственное значение единица

Здесь опечатка, собственное значение равно $n$.

[Alex992]

Извините за нубство, но, пожалуйста, объясните почему у матрицы составленной из единиц одно с. значение = n, и почему прибавление к ней единичной сделает его n + 1, а остальные станут единицами?

[nnosipov]

Alex992, а Вы знаете, что такое собственные значения и собственные векторы? Если нет или не очень, то лучше пока подождать с этим способом решения задачи. Элементарные преобразования гораздо быстрее приведут к цели.

Или Вам обязательно нужно как-то по-другому?

[Alex992]

Ну это все такие $\lambda$ являющиеся решением характеристического уравнения $\left|A - \lambda&E$|\right = 0$ нужно посчитать такой определитель, и решить уравнение. Наверно этот определитель имеет простой вид? у меня не получается его посчитать...

Не обязательно, просто интерес

[Евгений Машеров]

n, конечно. Сорри.

-- 25 янв 2013, 13:06 --

Ну, собственные вектора и значения определяются через $Ax=\lambda x$
Очевидно, если к диагонали прибавить одно и то же число, будет $(A+kI)x=(\lambda+k) x$
То есть от прибавки диагональной матрицы все собственные значения увеличиваются на одну и ту же величину.
Теперь о собственном значении матрицы из единиц. В качестве собственного вектора естественно попробовать состоящий из единиц. Умножаем - да, он же, умноженный на n (ещё раз сорри за невнимательность, допущенную ранее). То есть мы нашли один с.в. и одно с.з. Все прочие с.в. надо выбирать ортогональными к этому, а для этого необходимо и достаточно, чтобы сумма их элементов была бы 0. Но после умножения любого такого вектора на данную матрицу будет 0. То есть все прочие с.з. нулевые.

[Alex992]

Дайте хотя бы ссылку на источник, вооружившись знаниями откуда я сам отвечу на свои вопросы(Желательно статью)

Спасибо!