Планиметрия

[yonkis]

Установите, какие из утверждений верны:
1. Дан четырехугольник. Две его противоположные стороны параллельны, а две другие равны. В таком случае, этот четырехугольник - параллелограмм.
2. Две хорды окружности делятся точкой пересечения пополам. Обе эти хорды - диаметры.
3. Дан треугольник. Одна сторона - 3, вторая - 4. Площадь треугольника - 6. Тогда третья сторона обязательно равна 5.
4. В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $100^o$. $CK$ - бис-са, $AK=KC=1$, тогда:

а) угол $CBA$ равен $40^o$
б) $ABC$ и $CKB$ - подобные треугольники
в) площадь $ABC$ равна $\frac{1}{2}AB\sin 80^o$
г) $KB<\sqrt{2}$
д) окружность, описанная около тр-ка $ABC$ имеет радиус, равный $AC$

Практически уверен только насчет заданий 2, 3, 4а, 4б:
задание 2: по-моему, очевидно, утверждение верно (по крайней мере не смог в голове построить контрпример)
задание 3: выражая площадь треугольника по формуле, получил, что синус равен 1, т.е. треугольник прямоугольный (стороны - пифагорова тройка) - утверждение верно
задание 4а: у меня получился угол в $30^o$ - утверждение неверно
задание 4б: да, подобны по двум углам - верно
Допустил ли я где-то ошибки? В остальных заданиях ничего не придумал, прошу помощи

[Ktina]

yonkis в сообщении #675840 писал(а):

2. Две хорды окружности делятся точкой пересечения пополам. Обе эти хорды - диаметры.

На ТурЛоме давали более общую задачу:

В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так, что каждая из них проходит через середину какой – либо другой из проведённых хорд. Доказать, что все эти хорды являются диаметрами круга.

[Clayton]

1. Попробуйте придумать контрпример.Это очень просто-вспомните у каких фигур,кроме параллелограмма, есть параллельные стороны.
2.Верно (попробуйте доказать сами.Например,воспользуйтесь тем,что полученная фигура-параллелограмм.Или воспользуйтесь свойством пересекающихся хорд.)
3.Верно
4.а)Нет
б)Да (просто повычисляйте углы)
в)Нет (хотя бы из соображений о размерности)
г) Вроде верно (воспользуйтесь теоремой синусов)
д) Верно (примените теорему синусов)

[Shadow]

Clayton в сообщении #675916 писал(а):

в)Нет (хотя бы из соображений о размерности)

Размерность ни при чем. Высота тр-ка там нарисована (пунктиром). И она равна $CK\sin{80^o}$
г) $2\sin{50^o}>2\sin{45^o}$