Координаты риндлера

[LeontiiPavlovich]

рассмотрим ускоряющуюся ракету, и наблюдателя в хвосте этой ракеты, и пусть по всех высоте ракеты расставлены тикающие часы
так вот, чем выше расположены часы на ракете, тем они быстрее идут, и обычно коэффициент пропорциональности от расстояния имеет вид1+\frac {gl} {c^2}$
где $l$-расстояние между этими часами и наблюдателем, и причем эта формула является приближенной, тк $gl$ должно быть первого порядка малости по сравнению с $c^2$
а более точная зависимость имеет вид(точнее коэффициент пропорциональности)$e^{gl/c^2}$
Так вот, вопросы-$g$-это значение ускорения наблюдателя, находящегося в хвосте?-просто ведь оно будет уменьшаться при приближении к голове ракеты, что соответствует уменьшению кривизны наблюдателей риндлера при повышении пространственной
координаты
и второй вопрос-откуда взялась экспонента?-ведь там все зависимости линейный
Взять хотя бы евклидов аналог координат риндлера-полярные координаты, там вот масштаб по окружностям зависит линейно от расстояния до центра

[Munin]

Мне непонятно, откуда взялись процитированные вами формулы. Я смотрю на формулы из Википупии (одинаковые в английский и русской статье):

$$ds^2=dt_0^2-dx_0^2$$

$$\begin{cases}t=\operatorname{arth}(t_0/x_0)\\x=\sqrt{x_0^2-t_0^2}\end{cases}\qquad\qquad\begin{cases}t_0=x\operatorname{sh}t\\x_0=x\operatorname{ch}t\end{cases}$$

$$ds^2=x^2dt^2-dx^2$$

Отсюда, для неподвижных часов $d\tau=x\,dt,$ и никаких экспонент. Ускорение в каждой точке $1/x.$

[LeontiiPavlovich]

хм, эти формулы соответствуют СО равномерно ускоряющегося наблюдателя с единичным ускорением
А если взять какое-то произвольное постоянное ускорение, то в этих преобразованиях должно фигурировать значение этого ускорения

-- 24.01.2013, 21:17 --

Цитата:

$d\tau=x\,dt,$

кстати у меня вопрос по этой формуле, тут же не совпадают размерности
если пространство и время измерять в метрах, то тогда собственное время будет в квадратных метрах

[apv]

LeontiiPavlovich в сообщении #675852 писал(а):

кстати у меня вопрос по этой формуле, тут же не совпадают размерности

LeontiiPavlovich в сообщении #675811 писал(а):

с единичным ускорением

Потому что ускорение единичное, размерность которого Вы не учли. В МТУ, метрика в координатах Риндлера для произвольного постоянного ускорения $g$ (оно в обратных метрах):

$$d\tau^2=(1+g\xi^1)^2d(\xi^0)^2+d(\xi^1)^2$$

[Munin]

Как легко заметить по $t=\operatorname{arth}(t_0/x_0),$ переменная $t$ на самом деле имеет размерность 1 (берётся частное от метров на метры, и от них ареатангенс - безразмерная функция безразмерной переменной). Так что, чтобы получить метры, её надо домножить на метры, что и делается.

Если хотите, то можно переопределить эту переменную, чтобы она имела размерность длины, умножив её на какую-то константу размерности времени: $t'=T\operatorname{arth}(t_0/x_0).$ Тогда формула метрики, соответственно, изменится, и будет $d\tau=x\,dt/T.$

Ускорение, повторяю, зависит от того, какую точку вы возьмёте. Если $x=1,$ то ускорение единичное. Если $x=2,$ то ускорение 1/2. Сдвигом начала координат Минковского вы можете выбрать любое желаемое ускорение. Кстати, в данном случае при $x=0$ ускорение получается бесконечным.

[LeontiiPavlovich]

а если мы рассмотрим другое ускорение наблюдателя, то координаты риндлера изменятся в соответствии с этим ускорением
а вышеприведенные формулы я нашел у Фейнмана "6 лекций попроще и 6 посложней)
так где же у него ошибка?

[Munin]

LeontiiPavlovich в сообщении #675910 писал(а):

а вышеприведенные формулы я нашел у Фейнмана "6 лекций попроще и 6 посложней)

Точнее!

[apv]

LeontiiPavlovich в сообщении #675910 писал(а):

а вышеприведенные формулы я нашел у Фейнмана "6 лекций попроще и 6 посложней)

Можете место поточнее указать?

LeontiiPavlovich в сообщении #675511 писал(а):

а более точная зависимость имеет вид(точнее коэффициент пропорциональности)$e^{gl/c^2}$

Метрика вида $ds^2=e^{2gx}dt^2-dx^2$ не является более точной, чем метрика вида $ds^2=(1+gx)^2dt^2-dx^2$. Первая имеет отличный от нуля теноз кривизны, вторая - это метрика в риндлеровых координатах, которую преобразованием координат можно привести к метрике Минковского, т.е. кривизна ноль. Причем обе метрики - вакуумные решения уравнений Эйнштейна в 1+1 - пространстве-времени. Такая метрика $ds^2=e^{2gx}dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$ уже вакуумным решением не будет, т.к. тензор Эйнштейна для нее отличен от нуля.

[LeontiiPavlovich]

а точнее, это во второй части последних 6 лекций(которые "посложнее")
там где рассчитывается эффект разности хода часов в ускоряющейся ракете

[apv]

(Оффтоп)

LeontiiPavlovich в сообщении #675934 писал(а):

там где рассчитывается эффект разности хода часов в ускоряющейся ракете

страница какая?

[LeontiiPavlovich]

у него правда нет экспоненты, а экспоненту я нашел тут-http://alexandr4784.narod.ru/ento/ento_4_18.pdf

-- 25.01.2013, 02:09 --

Цитата:

страница какая?

ой я не помню....

[Munin]

Ну а это отрывок из чего? Хотите, чтобы мы сами угадывали?

[LeontiiPavlovich]

страница 297, а что насчет моей ссылки?

[apv]

(Оффтоп)

LeontiiPavlovich в сообщении #675945 писал(а):

страница 297, а что насчет моей ссылки?

Да с Вами телепату нужно общаться. Видимо та Ваша ссылка из статьи Эйнштейна, которую он написал до создания ОТО. Поэтому о точности там пока говорить рано.

[Munin]

На странице 297 издания 2006 года (доступного в электронном виде) нет никаких формул, а на на с. 301, в лекции 6 пункте 6.6 есть формула

$$(\text{Ход приёмника})=(\text{Ход источника})\left(1+\dfrac{gH}{c^2}\right)\eqno(6.6)$$

Подозреваю, о ней речь.

Формула линейная, верна и точно, и в смысле ньютоновского приближения ОТО.

Откуда ссылка - неизвестно, но в современной литературе такие обозначения не встречаются.