расстояние и угол между вектором и подпространством

[freedom_of_heart]

Помогите плиз, разобраться в этой задаче...

Найти расстояние и угол между вектором $\overrightarrow{X}_0=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 3\\ \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3$ и подпространством $U=\left\{\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ -4\\ \end{pmatrix}\right\}\subseteq \mathbb{R}^3$

C чего хотя бы начать?

Есть предположение, что угол между вектором и подпространством - это наименьший из углов между $\alpha$ и $\beta$

Где $\alpha$ -- угол между $\overrightarrow{X}_0=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 3\\ \end{pmatrix}$ и $\overrightarrow{Y}_0=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix}$

Где $\beta$ -- угол между $\overrightarrow{X}_0=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 3\\ \end{pmatrix}$ и $\overrightarrow{Z}_0=\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ -4\\ \end{pmatrix}$

Верно ли оно а как быть с расстоянием?

[ИСН]

Расстояние между вектором и чем-то - такого понятия вообще нет, а что касается угла, то проверьте на крайнем случае. Вот, положим, вектор $(1,1,0)$. Какой угол будет между ним и подпространством из векторов $\{(1,0,0),\; (0,1,0)\}$?

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #675879 писал(а):

Расстояние между вектором и чем-то - такого понятия вообще нет, а что касается угла, то проверьте на крайнем случае. Вот, положим, вектор $(1,1,0)$. Какой угол будет между ним и подпространством из векторов $\{(1,0,0),\; (0,1,0)\}$?

$\dfrac{\pi}{2}$

(Аналогичный пример был на лекции, но что-то не очевидно -- что там происходило, чтобы не переврать -- вставлю картинкой)

[ИСН]

Допустим. А на самом деле? Ведь это наше обычное трёхмерное пространство. Если визуализировать. Что это за вектор у меня? Что это за плоскость?

[ewert]

freedom_of_heart в сообщении #675881 писал(а):

$\dfrac{\pi}{2}$

Естественно, нет. Ведь тот вектор заведомо не ортогонален тем двум.

Найдите стандартным способом ортопроекцию того вектора на то подпространство. Тогда практически сразу выйдет и расстояние, и угол.

[ИСН]

ewert, мне всегда казалось излишне оптимистичным вот так говорить клиенту "Встань и иди". Как же он пойдёт, когда у него ножек нету? Нет ножек, нет и мультиков. Стандартным способом, ага, как же. Чтобы применить стандартный способ, его надо сначала понять. Чтобы понять, надо представить картинку. Тогда отрастут ножки.

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #675879 писал(а):

Расстояние между вектором и чем-то - такого понятия вообще нет, а что касается угла, то проверьте на крайнем случае. Вот, положим, вектор $(1,1,0)$. Какой угол будет между ним и подпространством из векторов $\{(1,0,0),\; (0,1,0)\}$?

Ой, подпространство есть плоскость $xOy$, а вектор $(1,1,0)$ в нем лежит, значит угол $0$ и расстояние $0$. Верно?

ewert в сообщении #675892 писал(а):

Найдите стандартным способом ортопроекцию того вектора на то подпространство. Тогда практически сразу выйдет и расстояние, и угол.

ортопроекция -- будет совпадать с длиной вектора, а значит расстояние ноль и угол равен нулю?

[ИСН]

Примерно так. Угол 0, расстояние - такого понятия вообще нет, а ортопроекция совпадает с самим вектором.

[freedom_of_heart]

И тут до меня дошло, что все векторы-то в подпространстве $U=\left\{\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ -4\\ \end{pmatrix}\right\}\subseteq \mathbb{R}^3$ -- линейно зависимы, а значит это подмножество векторов, лежащих на одной прямой.

Хотя, наверное, можно как-то через проекции) Вот по этой формуле можно для $\overrightarrow{X}_0=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 3\\ \end{pmatrix}$ и $\overrightarrow{Y}_0=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix}$?

$$\mathbf{proj}_{\mathbf{b}}\,\mathbf{a} = {\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle \over \langle \mathbf{b}, \mathbf{b}\rangle} \mathbf{b}$$

Скалярное произведение $(\overrightarrow{X}_0,\overrightarrow{Y}_0)=6\;\;\;\;\;\;\;\;(\overrightarrow{Y}_0,\overrightarrow{Y}_0)=6$

Тогда

$$\mathbf{proj}_{\mathbf{Y_0}}\,\mathbf{X_0} = {\langle \mathbf{X_0}, \mathbf{Y_0} \rangle \over \langle \mathbf{Y_0}, \mathbf{Y_0}\rangle} \mathbf{Y_0}=\mathbf{Y_0}$$

То есть проекция вектора $\mathbf{X_0}$ на вектор $\mathbf{Y_0}$ равна $\mathbf{Y_0}$, а значит $\mathbf{X_0}$ лежит в подпространстве $U$, а значит расстояние равно нулю, угол равен нулю....

(ПОТОК СОЗНАНИЯ)

А значит возможны 3 ситуации:

1) Вектора $\overrightarrow{X}_0=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 3\\ \end{pmatrix}$ и $\overrightarrow{Y}_0=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix}$ лежат на параллельных прямых, тогда нужно найти расстояние между этими параллельными прямыми (расстояние между прямыми и будет расстоянием между векторами), а угол будет нулевой.

2) Вектора $\overrightarrow{X}_0=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 3\\ \end{pmatrix}$ и $\overrightarrow{Y}_0=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix}$ лежат на пересекающихся прямых, тогда расстояние (расстояние между прямыми и будет расстоянием между векторами) будет ноль (хотя это расстояние какое-то странное само по себе, может оно не определено?)

3) Вектора $\overrightarrow{X}_0=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 3\\ \end{pmatrix}$ и $\overrightarrow{Y}_0=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix}$ лежат на скрещивающихся прямых, тогда можно найти расстояние между скрещивающимися прямыми (оно и будет расстоянием между векторами), а угол между векторами будет равен углу между скрещивающимися прямыми.

[freedom_of_heart]

Ну а вектора в подпространстве линейно зависимы, так как $(-2)\cdot \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ -4\\ \end{pmatrix}$

[CptPwnage]

Расстояние между вектором и подпространством это вроде бы модуль перпендикуляра из вектора на это подпространство (если вычесть из вектора ортогональную проекцию на подпространство)

[ИСН]

freedom_of_heart в сообщении #676015 писал(а):

То есть проекция вектора $\mathbf{X_0}$ на вектор $\mathbf{Y_0}$ равна $\mathbf{Y_0}$, а значит

А Вы проверьте опять на крайнем случае. Вот, положим, вектор $(1,1,0)$. Какой угол будет между ним и подпространством из одного вектора $\{(1,0,0)\}$? Считаем проекцию $X_0$ на $Y_0$...

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #676119 писал(а):

freedom_of_heart в сообщении #676015 писал(а):

То есть проекция вектора $\mathbf{X_0}$ на вектор $\mathbf{Y_0}$ равна $\mathbf{Y_0}$, а значит

А Вы проверьте опять на крайнем случае. Вот, положим, вектор $(1,1,0)$. Какой угол будет между ним и подпространством из одного вектора $\{(1,0,0)\}$? Считаем проекцию $X_0$ на $Y_0$...

Проекция будет $(1,0,0)$

[ИСН]

Ну? А угол, значит, какой?

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #676309 писал(а):

Ну? А угол, значит, какой?

Следуя той "логике предыдущих сообщений", должен получится ноль, но это ведь неверно, теперь понятно почему, если нарисовать картинку.
Вообще -- должно быть $45^{\circ}$, если считать через скалярное произведение (да и на глаз, по картинке). Для векторов же из условия - это вот что:

$\overrightarrow{X}_0=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 3\\ \end{pmatrix}$ и $\overrightarrow{Y}_0=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix}$

$\varphi =\operatorname{arccos}\dfrac{(X_0,Y_0)}{||X_0||\cdot ||Y_0||}=\operatorname{arccos}\dfrac{6}{\sqrt{6}\cdot 3}= \operatorname{arccos}\dfrac{2}{\sqrt{6}}=\operatorname{arccos}\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Верно? Но вот что такое расстояние -- тогда не ясно....