Школьная задача

[ex-math]

Для того, чтобы $2x^2+x-1<\sqrt{4x^4+4x^3+4x}<2x^2+x$ всего-то и надо $x>4$.

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #672475 писал(а):

nnosipov
В смысле разложить в ряд?

Это когда лень вручную выделять полный квадрат. Не обращайте внимания, Вам же всё руками нужно делать.

[vmg]

$y^2=x(x^3+x^2+1)$. Так как $x$ и $x^3+x^2+1$ взаимно простые, $x$ - квадрат и $x^3+x^2+1$ - квадрат. Пусть $x=n^2$, тогда $x^3+x^2+1 =n^6+n^4+1$ и $n^6+n^4+1=(n^3+m)^2$, где $1\leq{m}\leq\frac{n}{2}$. Отсюда $n^4+1=2mn^3+m^2$ или $n^3(n-2m)=m^2-1$. Последнее возможно только при $m=1$, $n=2$, откуда $x=4$, $y=9$.

-- Вт янв 22, 2013 22:53:14 --

Прошу прощения, $y=18$.

[Cash]

Цитата:

$n^3(n-2m)=m^2-1$. Последнее возможно только при $m=1$, $n=2$

Вот это совсем не очевидно...

[nnosipov]

Да нет, очевидно (левая часть больше правой), но это всё вариации на ту же тему оценок. Да и проще было бы сразу положить $y=x^2+m$ и получить $m^2-x=x^2(x-2m)$, откуда $x=2m$.