Поток векторного поля через полную поверхность пирамиды

[Megavolos]

Найти поток векторного поля $\vec{a}=5x\vec{i}+3y\vec{j}-6z\vec{k}$ через полную поверхность пирамиды, образованной плоскостью $2x+2y-z=1$ и координатными плоскостями , двумя способами: непосредственно и по теореме Остроградского-Гаусса.
Мой ход решения:
$A(0.5;0;0)$
$B(0;0.5;0)$
$C(0;0;-1)$
$S(0;0;0)$
Поток, через сторону $ASB (n=\vec{k},z=0)$ :
$\prod _{ASB}=\int \int 6zdxdy=0$
Поток, через сторону $BSC (n=\vec{-i},x=0)$ :
$\prod _{BSC}=\int \int -5xdydz=0$
Поток, через сторону $ASC (n=\vec{-j},y=0)$ :
$\prod _{ASC}=\int \int 3ydxdz=0$
Вектор нормали к стороне $ABC$: $n(2;2;-1)$
Делить на $\sqrt{2^{2}+2^2 + (-1)^2}$ я не стал, т.к. потом эта тройка сократится.
Выразил переменные:
$z=2x+2y-1$

$x=\frac{1+z-2y}{2}$

$y=\frac{1+z-2x}{2}$

$\prod_{ABC}^{ } = \int \int \vec{a}\cdot \vec{n}\cdot d\sigma =\int \int 2\cdot 5xdydz+\int \int 2\cdot 3dxdz+\int \int -1\cdot -6zdxdy=\int \int (5+5z-10y)dydz + \int \int (3+3z-6x)dxdz + \int \int (12x+12y-6)dxdy$
Вычисляю раздельно:
$\int_{0}^{0.5}dy\int_{0}^{2y-1}(5+5z-10y)dz=-0.4167$

$\int_{0}^{0.5}dx\int_{0}^{2x-1}(3+3z-6x)dz = -0.25$

$\int_{0}^{0.5}dx\int_{0}^{0.5-x}(12x+12y-6)dy = -0.25$
В сумме не сходится никак с решением по теореме Гаусса.
По теореме Гаусса получаю ответ $-0.083
Похожее число у меня есть, но только в 5 раз больше .И у второго с третьим интегралом должны быть разные знаки. Но почему? :)
Я так понял, что-то с вектором нормали не то у меня. Или с направляющими косинусами.
Решение по теореме Гаусса:
$\int \int \int \operatorname{div}(\vec{a})\cdot dV = \int \int \int 2dV=2\int \int \int dV$
Объем пирамиды равен $-0.0416$ по этому ответ: $-0.083$

[SpBTimes]

Все бы ничего, но вот отрицательный объем пирамиды заставляет меня нервно грызть ногти

[Megavolos]

SpBTimes в сообщении #675171 писал(а):

Все бы ничего, но вот отрицательный объем пирамиды заставляет меня нервно грызть ногти

Считал объем, как смешанное произведение векторов. Почему он отрицательный, и как это физически выглядит - фиг знает. Но все онлайн считалки выдают именно отрицательное число.

[SpBTimes]

Ориентацию тройки просто берете неправильно. Возьмите значение по модулю.

[Megavolos]

SpBTimes в сообщении #675186 писал(а):

Ориентацию тройки просто берете неправильно. Возьмите значение по модулю.

Да это понятно. Непонятно где я напортачил. Чего-то с косинусами или с нормалью не то...

-- 23.01.2013, 00:25 --

Упс, забыл минус:
Поток, через сторону $ASB (n=\vec{k},z=0)$ :
$\prod _{ASB}=\int \int -6zdxdy=0$

[Megavolos]

Все. Решил. Всем спасибо.
$\prod_{ABC}^{ } = \int \int \vec{a}\cdot \vec{n}\cdot d\sigma =\int \int 2\cdot 5xdydz+\int \int 2\cdot 3dxdz+\int \int -1\cdot -6zdxdy=\int \int (5+5z-10y)dydz + \int \int (3+3z-6x)dxdz + \int \int (12x+12y-6)dxdy$
Так не стоит делать =))