Текстовая задача на составление диффура

[Limit79]

Число жителей некоторого города в 1980 году составляло 300000 человек. В течении последующих 15 лет население города увеличивалось со скоростью, пропорциональной числу жителей в текущий момент времени, причем в 1984 году оно составляло 360000 человек.

Определить:
а) Закон, по которому менялось число жителей города.
б) Число жителей города в 1990 году.

Как решал я:
$y(t)$ - искомый закон.
$y'(t)$ - скорость увеличения.

По условию: $y'(t)=k \cdot y(t)$, решаем диффур, получаем: $y(t)=C \cdot e^{k \cdot t}$.

Далее, исходя из начальных условий: $y(1980)=300000$ и $y(1984)=360000$ можно найти коэффициенты $C$ и $k$, $C \approx 1.9 \cdot 10^{-34}$, $k \approx 0.04$.

Несколько смущают такие коэффициенты, и тот факт, что должны получатся точные значения (ведь так?), то есть в ответе не должно быть экспоненты.

Уважаемые форумчане, прошу помощи, совета, или что я делаю не так. Заранее спасибо!

[ИСН]

Limit79 в сообщении #674967 писал(а):

ведь так?

Даже не знаю, откуда начать.... Вы о непрерывных функциях слышали же когда-то, наверное? Может у нас непрерывная функция быть равна 1, 1, всё 1, никогда не полтора, а потом хоп - и сразу 2? Если нет, то что это значит?

[Limit79]

ИСН
Нет, не может быть. Это значит то, что функция имеет разрыв(ы).

-- 22.01.2013, 17:26 --

Понял, у искомой функции все значения не обязательно должны быть точными. Но при начальных условиях-то должны быть точными (а с экспонентой - все значения - приближенные, за исключением нуля).

[gris]

Для увеличения точности я бы начал отсчёт годов с 1980 года. То есть считать $t_0=0;\;t_1=4;\;t_2=10.$ Тогда коэффициенты стали бы более удобными. Да и значение экспоненты в самом начале стало бы точным, как Вы хотели.
Хорошо ещё, что отсчёт идёт не от БигБэнга

[Limit79]

gris
Вы имеете ввиду вот так: $y(t) = 300000 + k \cdot y'(t)$ ?

[gris]

Ваша прежняя формула вполне годится. Мы сразу получаем значение $C=300000$
Коэффициент $k$ останется, конечно, таким же, но лучше его дать чуть поточнее.

[Limit79]

gris

Система из:
$C \cdot e^{k \cdot 0} = 300000$
$C \cdot e^{k \cdot 4} = 360000$

$C = 300000$
$300000 \cdot e^{k \cdot 4} = 360000$

$C = 300000$
$e^{k \cdot 4} = \frac{6}{5}$

$C = 300000$
$k \cdot 4 = \ln \left (\frac{6}{5} \right ) $

$C = 300000$
$k = \frac{\ln \left (\frac{6}{5} \right )}{4} $

И тогда: $y(t) = 300000 \cdot e^{\frac{\ln \left (\frac{6}{5} \right )}{4} \cdot t}$

Не могу сообразить, возможно ли еще как-то упростить $y(t)$ ?

[gris]

А зачем точное значение? Я думаю, что для статистически значимой точности достаточно четырёх знаков. Ведь модель соответствует реальности очень приближённо. Я бы принял $k=0.0456$.

[nikvic]

(Оффтоп)

Ну прям задача о состоянии депозита с капитализацией