Кольца, локальные кольца

[nnosipov]

Хм ... Я имел в виду точную формулу для числа неприводимых многочленов данной степени, но, видимо, можно и так, по-простому.

[xmaister]

Спасибо. У меня ещё 1 вопрос: Пусть $\Bbbk$- алгебраически замкнутое поле. Как показать, что Nullstelensatz эквивалантно утверждению: Пусть $\Bbbk[x_1,\ldots ,x_n]$- кольцо многочленов. Если идеал $(f_1,\ldots, f_k)$ не содержит $1$, то система $f_1=\ldots =f_k=0$ разрешима.

[Joker_vD]

Если эта система неразрешима, то $\mathrm{rad}(f_1,\dots,f_k)=I(V(f_1,\dots,f_k))=(1)$; но тогда и $(f_1,\dots,f_k)=(1)$.

[xmaister]

Joker_vD
Понятно, спасибо! А верно ли, что по кольцу регулярных функций замкнутого множества $X\subset\mathbb{A}^n_\Bbbk$ можно восстановить само замкнутое множество?

[apriv]

xmaister в сообщении #673368 писал(а):

Joker_vD
Понятно, спасибо! А верно ли, что по кольцу регулярных функций замкнутого множества $X\subset\mathbb{A}^n_\Bbbk$ можно восстановить само замкнутое множество?

Если поле алгебраически замкнутое, то можно восстановить с точностью до изоморфизма.

[xmaister]

Каким образом?

[apriv]

Посмотреть на максимальные (или простые) идеалы этого кольца, ввести на них топологию и, при желании, пучок регулярных функций.

[xmaister]

Понял, т.е. вычисляем спектр (а как определить простой или максимальный?). Но таким способом не определено вложение ни в какое $\mathbb{A}^k$. Можно ли его определить?

[apriv]

Что значит «как определить»? Это смотря что Вы считаете многообразием — подмножество точек или подсхему. Вложить в аффинное пространство легко: кольцо рациональных функций является конечно порожденной алгеброй над $k$, поэтому это фактор алгебры многочленов — вот и вложение.

[xmaister]

apriv в сообщении #674021 писал(а):

Это смотря что Вы считаете многообразием — подмножество точек или подсхему.

Я не знаю что такое многообразие. Я лишь знаю как определяется топология Зарисского в аффинном пространстве.

apriv в сообщении #674021 писал(а):

кольцо рациональных функций является конечно порожденной алгеброй над , поэтому это фактор алгебры многочленов — вот и вложение.

Не понял. Откуда известно, что спектр кольца будет гомеоморфен замкнутому подмножеству $\mathbb{A}^k$ для некоторого $k$

[apriv]

xmaister в сообщении #674152 писал(а):

Не понял. Откуда известно, что спектр кольца будет гомеоморфен замкнутому подмножеству $\mathbb{A}^k$ для некоторого $k$

Ежели это не просто кольцо, а конечно порожденная алгебра $A$ над полем $F$, то она изоморфна фактору алгебры многочленов $F[x_1,\dots, x_k]$ для некоторого $k$. Каноническая проекция $F[x_1,\dots,x_k]\to A$ — это и есть вложение спектра $A$ в аффинное пространство $\mathbb{A}^k$ над полем $F$.