Нахождение спектра оператора

[Manny]

Задача:Найти спектр в $l_2(\mathbb{Z})$ оператора $(Ax)_n=x_{n-1}-2x_n+x_{n+1}$
Как я решал:
1)Сдвинул оператор на 2, то есть ищу спектр опратора $(Ax)_n=x_{n-1}+x_{n+1}$, при этом спектр исходного оператора отличается сдвигом на 2.
2)Проверил, что собственных чисел нет, а значит точечный спектр пуст.
3)В силу самосопряженности и свойств спектров сопряженных операторов получил, что остаточный спектр тоже пуст, а значит есть только непрерывный спектр.
4)Оператор ограничен, а значит его спектр расположен внутри круга радиусом равным норме оператора + оператор самосопряжен, а значит спектр вещественный = спектр лежит внутри отрезка [-2,2]
В итоге имеем, что оператор имеет непрерывный спектр и лежит он внутри отрезка [-2,2].
Как доказать, что весь этот отрезок является непрерывным спектром?

[ewert]

Manny в сообщении #673589 писал(а):

Как доказать, что весь этот отрезок является непрерывным спектром?

Вот Вы "проверили, что собственных чисел нет". А Выпишите всё-таки, выпишите векторы, которые для этих лямбд должны были бы быть собственными. Ну и докажите, что эти векторы являются "собственными элементами непрерывного спектра". Т.е. что если на них навешивать всё более медленно убывающие на бесконечности множители (но такие, чтобы эти элементы после умножения попадали в эль-два), то резольвента на этих последовательностях оказывается неограниченной. Тут полная аналогия со спектром оператора двукратного дифференцирования, благо это и есть (с точностью до множителя) вторая разностная производная.

[Manny]

С ваших слов не очень понял про "собственные элементы непрерывного спектра" и не смог найти про них в книжках, не могли бы Вы подсказать где можно прочитать про это подробней?

[ewert]

Возьмите для начала формальное решение уравнения $(A\vec x)_n=\lambda x_n$ в виде $x_n=q^n$ (любое из двух). Навесьте на него экспоненциально, но слабо убывающий множитель, т.е. рассмотрите $(\vec u_{\varepsilon})_n=\frac1{\sqrt{\varepsilon}}\cdot q^ne^{-\varepsilon|n|}$. И докажите, что $\|\vec u_{\varepsilon}\|$ -- это более-менее константа, в то ремя как $\|(A-\lambda I)\vec u_{\varepsilon}\|\to0$ при $\varepsilon\to0$.

[g______d]

Можно еще с помощью разложения в ряд Фурье понять, что этот оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на функцию (какую?) в $L_2[0;2\pi]$ (ну или на окружности, все равно). А как устроен спектр оператора умножения --- наверняка разбиралось ранее.