Найти аффинный тип сечения

[unstable]

Найти аффинный тип сечения поверхности $2x^2-3y^2+4z^2-2xy+4xz-14x+8y+7z+5=0$ плоскостью $2x+y-3z-1=0$.

Не могли бы вы натолкнуть, как решать задачи подобного плана, а то теми способами, что пробовал ничего толком не вышло.

[Deggial]

Можно, конечно, сделать в лоб: выразить одну переменную из уравнения плоскости, подставить в уравнение поверхности, упростить, получить кривую 2-го порядка и её исследовать стандартными методами.
Вы ведь аффинным типом называете эллипс, параболу, гиперболу и т.п.?

[unstable]

Deggial в сообщении #673235 писал(а):

Вы ведь аффинным типом называете эллипс, параболу, гиперболу и т.п.?

да

Но предложенный вами способ даст ведь лишь проекцию на одну из плоскостей, проходящих одновременно через две оси координат. (в зависимости от того, что через что выразим)
И такой способ наш преподаватель называл главной ошибкой, т.е. так, наверное, лучше не делать.
Вся проблема в том, что в тех примерах, что были объяснены на семинарах, кривая была изначально каноническом виде. Здесь же, возможно, ее нужно привести к каноническому виду и затем найти уравнение плоскости в новой системе координат, но по стандартному алгоритму данная поверхность не приводится к каноническому виду (рациональных лямбда нет).

[ewert]

Форма-то кривой не зависит от того, на какую плоскость эту кривую мы проецируем.

[unstable]

ewert в сообщении #673245 писал(а):

Форма-то кривой не зависит от того, на какую плоскость эту кривую мы проецируем.

Но ведь проекцией может, например, являться окружность, хотя исходной кривой будет эллипс и тп. Разве не так? Как быть тогда?

[Deggial]

unstable в сообщении #673248 писал(а):

Но ведь проекцией может, например, являться окружность, хотя исходной кривой будет эллипс и тп. Разве не так? Как быть тогда?

Аффинный тип у окружности и у эллипса один и тот же - эллипс.
Вообще, если проективное преобразование биективно, то оно сохраняет аффинный тип кривой. Т.е. если мы проецируем на $Oxy$ вдоль оси $Oz$, то достаточно утверждать, что кривая, отсекаемая плоскостью от поверхности не "параллельна" $Oz$ (т.к. она лежит в плоскости. Это равносильно тому, что плоскость сечения не параллельна $Oz$.

unstable в сообщении #673242 писал(а):

Здесь же, возможно, ее нужно привести к каноническому виду и затем найти уравнение плоскости в новой системе координат, но по стандартному алгоритму данная поверхность не приводится к каноническому виду (рациональных лямбда нет).

Поясните, что Вы хотите сказать. Любая кривая 2-го порядка приводима к каноническому виду (и геометрически это очевидно).

[unstable]

Да, действительно. Выражая разные переменные, каждый раз получается гипербола. Спасибо)