Бозоны - "коллективисты"?

[druggist]

Часто можно слышать фразы типа, - "..бозоны "любят" собираться вместе, "стремятся" в состояние, где их больше" и т.п. Хотелось бы обосновать эти рассуждения с точки зрения статистики бозонов. И здесь не совсем все очевидно. Во-первых, отсутствие запрета на максимальное число частиц в состоянии и стремление попасть в состояние с бОльшим числом частиц это явно не одно и то же.. Во-вторых,... рассмотрим идеальный газ из N бозонов, занимающих G состояний (пусть состояния мало отличаются по энергии частицы или даже вовсе это G-кратно вырожденное состояние и N<<G - ср. число частиц в одном состоянии много меньше еденицы) Если рассматривать "спектр. состав" - распределение состояний по кол-ву частиц n в одном состоянии для равновесного(с макс. энтропией) случая , то есть, долю состояний с числом частиц n, или, что то же самое, вероятность иметь в данном состоянии n частиц , то она(доля, вероятность) экспонентциально спадает с n (Для различимых частиц "больцманонов" это будет гауссова кривая с пиком в n среднем) То есть, ни о каком преобладающем стремлении занять состояния с бОльшими числами заполнения n речи в этом смысле быть не может. Однако возможно следующее рассуждение. Это распределение(экспонента) зависит от N и G как от параметров. При увеличении N на еденичку, т.е., при добавлении одного бозона в систему распределение становится более "пологим", относительная доля частиц с большими n увеличивается. По-моему, это единственное обоснование "коллективизма бозонов" с точки зрения статистики.

[Ilia_]

Вероятность рождения бозона в определённом состоянии пропорциональна числу бозонов, уже находящихся в этом состоянии. Этого, на мой взгляд, вполне достаточно, чтобы обозвать их "коллективистами". При этом не столь важно, какое распределение имеют уже существующие бозоны, равновесное или неравновесное.

(Оффтоп)

Здесь можно провести лингвистический анализ термина "коллективизм". Википедия говорит: "собирательный психолого-социальный термин, характеризующий любую доктрину, которая делает упор на важности и ценности коллектива." К бозонам это вполне применимо: каждый свежерожденный бозон чувствует "важность и ценность" уже сложившегося коллектива. :)

[druggist]

Ilia_ в сообщении #672739 писал(а):

Вероятность рождения бозона в определённом состоянии пропорциональна числу бозонов, уже находящихся в этом состоянии.

А из каких соображений рассчитывается эта вероятность?

(Оффтоп)

Я понимаю коллективизм примерно так, как понимали его руководители партии и правительства в 30-е, доля колхозов должна быть болше доли единоличных хозяйств

[DimaM]

Ilia_ в сообщении #672739 писал(а):

Вероятность рождения бозона в определённом состоянии пропорциональна числу бозонов, уже находящихся в этом состоянии. Этого, на мой взгляд, вполне достаточно, чтобы обозвать их "коллективистами".

А с сохраняющимися бозонами (типа атомов) как дело обстоит?

[Ilia_]

druggist в сообщении #672742 писал(а):

А из каких соображений рассчитывается эта вероятность?

Рассмотрим вероятность рождения бозона в том состоянии, в котором уже сидит $N$ частиц. В амплитуде перехода будут разные множители, связанные с конкретной реализацией процесса, но неизбежно появится оператор рождения бозона в обкладках начального и конечного состояния:

$$\langle N+1| a^\dagger |N\rangle = \sqrt{N+1} \langle N+1|N+1\rangle=\sqrt{N+1}$$

Вероятность рождения бозона пропорциональна квадрату модуля этой амплитуды, то есть $N+1$. Естественно, кроме этой пропорциональности на вероятность рождения влияют и другие факторы, но этот множитель присутствует для всех бозонов.

DimaM в сообщении #672743 писал(а):

А с сохраняющимися бозонами (типа атомов) как дело обстоит?

Атомы в различных состояниях различимы, и их можно считать разными сортами бозонов. Поэтому сохранение числа атомов следует понимать как сохранение суммы чисел атомов по всем состояниям. На практике это реализуется тем, что переход атома из одного состояния в другое описывается как одновременное рождение атома в состоянии $2$ и уничтожение в состоянии $1$. Вероятность такого процесса пропорциональна $(N_2+1)\cdot N_1$, где $N_2$ и $N_1$ - числа атомов до перехода, в состояниях $2$ и $1$ соответственно.

-- 17.01.2013, 14:42 --

druggist в сообщении #672742 писал(а):

(Оффтоп)

Я понимаю коллективизм примерно так, как понимали его руководители партии и правительства в 30-е, доля колхозов должна быть болше доли единоличных хозяйств

(Оффтоп)

А так и будет. Породите достаточно большое количество бозонов, и обнаружите, что все они кучкуются в одной моде. На этом принципе лазеры работают. Вы же сами об этом и писали:

druggist в сообщении #672704 писал(а):

относительная доля частиц с большими n увеличивается

[druggist]

Цитата:

Вероятность такого процесса пропорциональна $(N_2+1)\cdot N_1$, где $N_2$ и $N_1$ - числа атомов до перехода, в состояниях $2$ и $1$ соответственно.

Так ведь вроде бы в соответствии с этим вероятность частице перейти из состояния 1 с меньшим числом частиц $N_1$ (допустим $N_1<N_2$) в состояние 2 с большим числом частиц $N_2$ всегда меньше вероятности обратного процесса(пропорционального, очевидно, $(N_1+1)\cdot N_2$), то есть, перехода из состояния 2 с большим числом частиц в состояние 1 с меньшим? Где же здесь стремление к коллективизму?

[Munin]

Ilia_ в сообщении #672760 писал(а):

Породите достаточно большое количество бозонов, и обнаружите, что все они кучкуются в одной моде.

Ну, не совсем. Тут играет ещё роль общий объём фазового пространства. Например, жидкий гелий-4 при большой температуре - не "кучкуется", а при охлаждении до 4 градусов - "кучкуется" и становится сверхтекучим. То есть, это условие необходимое, но не достаточное.

[Ilia_]

druggist в сообщении #672779 писал(а):

Так ведь вроде бы в соответствии с этим вероятность частице перейти из состояния 1 с меньшим числом частиц $N_1$ (допустим $N_1<N_2$) в состояние 2 с большим числом частиц $N_2$ всегда меньше вероятности обратного процесса(пропорционального, очевидно, $(N_1+1)\cdot N_2$), то есть, перехода из состояния 2 с большим числом частиц в состояние 1 с меньшим? Где же здесь стремление к коллективизму?

Ну, поскольку $N_{1,2}\gg 1$, можно с чистой совестью принять $(N_1+1)\cdot N_2\approx (N_2+1)\cdot N_1$, то есть когда частиц много, их число не смещает равновесие. Но это если общее число частиц сохраняется.

Но вообще и вы правы, и Munin напомнил верно: атомы, независимо от их числа, при ненулевой температуре, в одно состояние не сядут. (На самом деле и при нулевой не сядут, из-за неидеальности бозе-газа. Насколько я помню, в случае гелия при абсолютном нуле в основном состоянии находится $\sim10-20\%$ частиц, там свертекучесть сильно разрушается взаимодействием.)

[Утундрий]

Назовем их фермионными уклонистами.

[druggist]

Цитата:

Ну, поскольку $N_{1,2}\gg 1$, можно с чистой совестью принять $(N_1+1)\cdot N_2\approx (N_2+1)\cdot N_1$, то есть когда частиц много, их число не смещает равновесие. Но это если общее число частиц сохраняется.

Но в таком случае вроде бы это уже будет не идеальный газ, что предполагалось с самого начала. Кстати, для выражения $ (N_2+1)\cdot N_1$ пропорционального вероятности перескока частицы из 1 в 2 напрашивается классическая интерпретация: вероятность вылета из 1 должна быть пропорциональна $N_1$, числу частиц в состоянии 1 умноженную на вероятность попадания в 2. Вот тут поинтереснее, для бозонов она пропорциональна числу посадочных мест - промежутков между частицами в 2, если их выстроить в цепочку, т.е., $(N_2+1)$ . Для классических (различимых) частиц вероятность попадания в "ящик" не зависит от числа частиц в "ящике" и там для любых $N_1$ и $N_2$ в равновесии вероятности прямого и обратного перескоков должны быть равны равны. То есть в равновесии во всех состояниях должно быть примерно поровну частиц. Кстати, для в случае $N_{12}$<<1 это верно и для бозонов ($N_2$ много меньше еденицы)

[Munin]

druggist в сообщении #673060 писал(а):

Для классических (различимых) частиц вероятность попадания в "ящик" не зависит от числа частиц в "ящике"

Именно-именно. А для бозонов она растёт с увеличением числа частиц в "ящике" всегда. Иногда незаметно, но но всё равно растёт.

[druggist]

Да, похоже, стремление к коллективизму у бозонов по сравнению с классическими частицами налицо, тему, в принципе, можно закрывать. Но вот вопрос, который меня сильно интересует. Пусть мы перебрасываем атомы по одиночке в соответствии с "бозонным" правилом, т.е., берем наугад любой шар и наугад же просовываем его между любыми другими шарами или между двумя стенками. При этом, конечно, шары и стенки ящиков нужно выстроить в цепочку. Какое будет распределение ящиков по числу частиц(шаров)в них в результате такого перемешивания?(стенки соседних ящиков считать одной перегородкой, так что, если в цепочке встречаются подряд две перегородки это означает пустой ящик, нечто похожее можно найти при комбинаторном выводе статистики Б. -Э., см., напр., ЛЛ5ч1 параграф 55, сноска)

[Munin]

Не понял описания опыта. Нельзя ли поподробнее, с картинками, может быть?

[druggist]

А сноска не канает?:) Там есть и рисунок один в один с тем, что я описал, только есть разница в действиях: мы перемещаем по одному произвольный шар на любое место между соседними шарами(точками на рис.) или соседними перегородками(черточки на рис.) или соседними шаром и перегородкой, вобщем, между... а в книжке не так, там точки и черточки меняют местами, перестановки, вобщем. В в результате подсчитывается число различных микросостояний для бозонов. В моем случае черточки не перемещаются. Это все равно что определенным манером тасовать колоду карт: вытаскивать наугад карту, если черная, то ложитькласть на то же место, если попалась красная класть наугад на любое произвольное место между любыми картами. Зачем это нужно? Есть смутное ощущение, это это будет степенное распределение с "тяжелым хвостом", но это только предположение..

[Munin]

druggist в сообщении #673302 писал(а):

А сноска не канает?:)

Лень открывать. Так что я пас. Возможно, временно.