Предел разности двух функций стремящихся к бесконечности

[ean]

Помогие посчитать предел

$$\lim_{z \to 0}{\frac{1}{e^z-1}-\frac{1}{\sin{z}}}$$

Maple бодро сообщает, что это $-\frac{1}{2}$, но как к нему подступиться я не очень понимаю. Речь вообще идёт о $\mathbb{C}$, но и для $\mathbb{R}$ у меня тоже идей нет.
Я пробовал было пользоваться $\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ и приводить к общему знаменателю, но стало только сложнее.
Maple'овский Tutor этот пример расписывает, но в какой-то момент делает переход

$$-\lim_{z \to 0}{{\sin{x}+e^z \over 2\cos{z} \cdot e^z + \sin{z}}} = -{\lim_{z \to 0}{(\sin{z}+e^z)} \over \lim_{z \to 0}{(2\cos{z} \cdot e^z + \sin{z})}}$$

Откуда это берётся я тоже не понимаю

[SpBTimes]

Тейлор

[ean]

Спасибо