Почему нормы равны?

[MissEwy]

надо доказать что $||A || = || B||$ если $A:X \to Y, B:Y \to X$ где $A, B $ непрерывные линейные функционалы , что выполняется : $ \forall x \in X, \forall y \in Y: (Ax \mid y)=(x \mid By) $

я думаю что надо доказать $||A|| \leqslant ||B|| $ и $||B|| \leqslant ||A|| $

подруга делала так, но я нипонимаю почему это так есть.

$ |(Ax \mid y)|=|(x \mid By)| \leqslant ||x|| \cdot ||B|| \cdot ||y||$
$ |(Ax \mid Ax)|=||Ax||^2 \leqslant ||Ax|| \cdot ||B|| \cdot ||x|| $

первую строчку я понимаю, но откуда в второй она выведит
$||Ax||^2 \overset{?}{\leqslant} ||Ax|| \cdot ||B|| \cdot ||x|| $
И потом следует:
$||Ax|| \leqslant ||B|| \cdot ||x|| \Rightarrow ||A|| \leqslant ||B||$
почему так?

[INGELRII]

MissEwy в сообщении #672607 писал(а):

первую строчку я понимаю, но откуда в второй она выведит

$y$ же любое может быть. Ну и подставим $y = A x$

[AGu]

MissEwy в сообщении #672607 писал(а):

$A:X \to Y, B:Y \to X$ где $A, B $ непрерывные линейные функционалы

Наверное, все же "операторы", а не "функционалы". (Функционалом обычно называют оператор со значениями в основном поле.)