Кольца, локальные кольца

[xmaister]

Доброго времени суток. Прорешиваю задачи из Ленга за кольца. Хотел бы чтобы вы проверили, поправили, быть может в каких-то местах следовало рассуждать по другому и т.д.:
1. Вроде совсем простая. Пусть $A$- кольцо с $1\ne 0$, $S\subset A$- подмоноид не содержащий $0$. Пусть $\mathfrak{p}$- максимальный элемент в множестве $\mathcal{A}$ всех идеалов, т.ч. для всякого $\mathfrak{a}\in\mathcal{A}$ имеем $\mathfrak{a}\cap S=\varnothing$. Доказать, что $\mathfrak{p}$- простой.

(Решение)

Пусть $ab\in\mathfrak{p}$, причем $a,b\not\in\mathfrak{p}$ одновременно. Тогда существуют такие $x_1,x_2$и $n_1,n_2\in\mathfrak{p}$, что $n_1+ax_1\in S,n_2+bx_2\in S$. Перемножаем, поулчаем, что существует $n\in\mathfrak{p}$, т.ч. $n+ x_1x_2ab\in S$, но $n+ x_1x_2ab\in\mathfrak{p}$, откуда $\mathfrak{p}\cap S\ne\varnothing$. Противоречие.

2. Пусть $f:A\to A'$- эпиморфизм колец. Доказать, что если $A$- локально, то $A'$- локально.

(Решение)

Пусть $\mathfrak{a},\mathfrak{b}\subset A'$- максимальные идеалы, тогда $f^{-1}(\mathfrak{a})=f^{-1}(\mathfrak{b})=\mathfrak{m}$- единственный максимальный идеал в $A$. Китайская теорема об остатках доставляет, что $A/(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b})\cong A/\mathfrak{a}\times A/\mathfrak{b}$- поле. Откуда $\mathfrak{a}=\mathfrak{b}=\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}$. Рассмотрим эпиморфизм $f:A\to A'/(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b})$, тогда $\mathrm{Ker}f=\mathfrak{m}$, откуда $\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}$- максимальный. Значит $A'$- локальное

3. Пусть $A$- кольцо, $\mathfrak{p}\subset A$- простой идеал. Доказать, что $S^{-1}A$- локальное кольцо, где $S=A\setminus\mathfrak{p}$.

(Решение)

Кольцо $A/\mathfrak{p}$- целостное. Тогда $F^{-1}(A/\mathfrak{p})$- поле, где $F=(A/\mathfrak{p})\setminus\mathfrak{p}$. Имеем эпиморфизм $\varphi :S^{-1}A\to F^{-1}(A/\mathfrak{p})$, т.ч. $a/b\mapsto (a+\mathfrak{p})/(b+\mathfrak{p})$. Корректность очевидна. $\mathrm{Ker}\varphi= \{a/b|a\in\mathfrak{p},a/b\in S^{-1}A\}$- максимальный идеал. Пусть $a/b\in S^{-1}A$- не обратим, тогда $a\in\mathfrak{p}$, откуда $\mathrm{Ker}\varphi$- единственный максимальный идеал.

4. Пусть $R=R_1\oplus R_2$ и пусть $N_2$- аннулятор идеала $R_2$ в $R_2$. Доказать, что $R_1$ будет идеалом в каждом кольце $\overline{R}$, содержащем $R$, тогда и только тогда, когда каждый гоморфизм $\varphi:R_1\to N_2$- нулевой гомоморфизм.

(Оффтоп)

Тут туплю, пока не знаю как подойти. Буду признателен, если дадите наводку.

[xmaister]

Верно ли, что если $\mathrm{Ann}(R_2)=\{0\}$ в $R_2$, то в кольце $R_2$ есть единичный элемент?

[AV_77]

xmaister в сообщении #670959 писал(а):

Верно ли, что если $\mathrm{Ann}(R_2)=\{0\}$ в $R_2$, то в кольце $R_2$ есть единичный элемент?

Возьмем, например, $R_2 = 2 \mathbb{Z}$.

[xmaister]

Пусть $A$- кольцо главных идеалов, $S\subset A$- мультипликативное множество, тогда $S^{-1}A$- кольцо главных идеалов. Можно ли указать коротку последовательность колец, точность которой равносильна исходному утверждению?

[xmaister]

Почему кольцо многочленов над полем от бесконечного числа переменных не нетерово? Хотелось бы явно найти возрастающую цепочку, которая не обрывается.

[AV_77]

$(x_1) \subset (x_1, x_2) \subset (x_1, x_2, x_3) \subset \ldots$

[xmaister]

AV_77
действительно, спасибо. А является ли такое кольцо артиновым?

-- 16.01.2013, 08:08 --

И еще вопрос: Верно ли, что всякое конечное поле изоморфно полю Галуа?

[AV_77]

xmaister в сообщении #672176 писал(а):

А является ли такое кольцо артиновым?

$(x_1) \supset (x_1x_2) \supset (x_1x_2x_3) \supset \ldots$

xmaister в сообщении #672176 писал(а):

Верно ли, что всякое конечное поле изоморфно полю Галуа?

Да.

[Joker_vD]

xmaister в сообщении #672176 писал(а):

Верно ли, что всякое конечное поле изоморфно полю Галуа?

Скажите, а что вы называете полем Галуа?

[xmaister]

Joker_vD в сообщении #672183 писал(а):

Скажите, а что вы называете полем Галуа?

Поле разложения неприводимого многочлена.

[nnosipov]

xmaister в сообщении #672190 писал(а):

Поле разложения неприводимого многочлена.

Неприводимого над чем? В любом случае это не называют полем Галуа. Поля Галуа $GF(q)$ --- это конечное поле из $q$ элементов. Неважно, какое конкретно, поскольку оно единственно с точностью до изоморфизма.

-- Ср янв 16, 2013 13:51:19 --

xmaister в сообщении #672176 писал(а):

И еще вопрос: Верно ли, что всякое конечное поле изоморфно полю Галуа?

Возможно, имеется в виду следующее утверждение. Пусть $F$ --- конечное поле, $f(x) \in F[x]$ --- неприводимый многочлен, $L \supset F$ --- расширение, в котором $f(x)$ имеет корень. Тогда $L$ --- поле разложения для $f(x)$, т.е. $f(x)$ раскладывается на линейные множители над $L$.

[xmaister]

nnosipov в сообщении #672198 писал(а):

Возможно, имеется в виду следующее утверждение. Пусть $F$ --- конечное поле, $f(x) \in F[x]$ --- неприводимый многочлен, $L \supset F$ --- расширение, в котором $f(x)$ имеет корень. Тогда $L$ --- поле разложения для $f(x)$, т.е. $f(x)$ раскладывается на линейные множители над $L$.

Да и ещё хочу выяснить, почему никакое конечное поле не является алгебраически замкнутым?

[apriv]

xmaister в сообщении #672356 писал(а):

Да и ещё хочу выяснить, почему никакое конечное поле не является алгебраически замкнутым?

Потому что над конечным полем можно взять многочлен, корни которого — все элементы поля, и прибавить к нему единицу.

[nnosipov]

Более того, над любым конечным полем есть неприводимые многочлены любой степени. Вообще, полезно системно ознакомиться с теорией конечных полей, т.е. взять какой-нибудь курс алгебры и прочитать соответствующую главу.

[Joker_vD]

nnosipov в сообщении #672384 писал(а):

Более того, над любым конечным полем есть неприводимые многочлены любой степени.

Это, по-моему, вообще сразу ясно, если прикинуть, сколько многочленов каждой степени существует, и сколько из них приводимы.