Неприводимые линейные представления группы.

[Morkonwen]

Здравствуйте! Для приложений в квантовой механике достаточно знать только характеры неприводимых представлений(н.п) соответствующих классов групп симметрии. И для того чтобы их найти для всех н.п. можно составить систему алгебраических уравнений, так что тут все легко.

Вопрос:
1) Поскольку представление это гомоморфизм, то как найти нормальный делитель соответствующий каждому данному н.п. в группе?
2) Как удобнее всего находить сами матрицы неприводимого представления.(Одно из всех эквивалентных решений)

[Leox]

Что за группа?

[Morkonwen]

любая конечная некомутативная. Я про общие алгоритмы говорю.

[nestoklon]

Morkonwen в сообщении #667599 писал(а):

Я про общие алгоритмы говорю.

Почитайте Пикуса-Бира. Там всё есть. Есть метод, который работает всегда -- построить регулярное представление а потом из него выделять непрводимые (метод описан в процитированной книге), но проще обычно "угадать" какую-нибудь базисную функцию, пользуясь например тем что любая точечная группа -- подгруппа $SO(3)$, соотвественно, базисные функции представлений $D_j$ часто будут удобными базисными функциями каких-нибудь представлений любой точечной группы.

Первый вопрос, если честно, не понял.

[Morkonwen]

nestoklon в сообщении #667785 писал(а):

Morkonwen в сообщении #667599 писал(а):

Я про общие алгоритмы говорю.

Почитайте Пикуса-Бира. Там всё есть. Есть метод, который работает всегда -- построить регулярное представление а потом из него выделять непрводимые (метод описан в процитированной книге), но проще обычно "угадать" какую-нибудь базисную функцию, пользуясь например тем что любая точечная группа -- подгруппа $SO(3)$, соотвественно, базисные функции представлений $D_j$ часто будут удобными базисными функциями каких-нибудь представлений любой точечной группы.

Первый вопрос, если честно, не понял.

Cпасибо! Сейчас посмотрю!


Про первый вопрос: линейное неприводимое представление группы $G$ это гомоморфизм из нашей группы $G$ в группу матриц $M$. Одна из главных теорем теории групп заключается в том, что любому гомоморфизму из $G$ соответствует некоторый нормальный делитель в $G$, который разобьет $G$ на фактор -группу, которая будет уже изоморфна образу (в нашем случае $M$). Я вот и хочу понять для себя какие Н.Д. группы соответствуют гомоморфизмам -неприводимым представлениям групп. Чем эти н.д. интересны и как их найти, не находя непосредственно неприводимых представлений. Ведь должно же быть у этих н.д. какое то особое групповое свойство!

[nestoklon]

Morkonwen в сообщении #667792 писал(а):

Я вот и хочу понять для себя какие Н.Д. группы соответствуют гомоморфизмам -неприводимым представлениям групп.

Разберитесь на примере какой-нибудь простой группы. Например, для $O_h$ должно быть удобно. Симметричные и антисимметричные представления очевидно будут соответствовать нормальному делению на $\{e,i\}$ (где $i$ инверсия). Но представлений у этой группы заметно больше, и что-то никакими нормальными делителями там не особо пахнет.

Morkonwen в сообщении #667792 писал(а):

Ведь должно же быть у этих н.д. какое то особое групповое свойство!

Сильно сомневаюсь.

[Morkonwen]

nestoklon в сообщении #667842 писал(а):

Morkonwen в сообщении #667792 писал(а):

Ведь должно же быть у этих н.д. какое то особое групповое свойство!

Сильно сомневаюсь.

А вот как оказалось очень легко показать что любому нормальному делителю $A$ соответствует хотя бы одно нетривиальное неприводимое представление. То есть
1)либо сам $A$ разобъет нашу группу $G$ на фактор группу, изоморфную неприводимой конечной группе матриц
2)либо наш нормальный делитель $A$ будет подгруппой другого нормального делителя $B$, отличного от всей группы $G$, но лежащего в ней. И вот $B$ уже будет изоморфным неприводимой конечной группе матриц .

Отсюда выходит, что Любой максимальный н.д. группы $G$, отличный от $G$ точно будет обеспечивать обеспечивать линейное представление.

[nestoklon]

Morkonwen в сообщении #672321 писал(а):

Отсюда выходит, что Любой максимальный н.д. группы G, отличный от G точно будет обеспечивать обеспечивать линейное представление.

Это-то тривиально. Я имел в виду что представлений как правило заметно больше чем нормальных делителей. Вопрос был так сформулирован будто делители чем-то помогут в изучении представлений. А там кроме очевидных свойств следующих из определения представления ничего больше нет.