Монотонная последовательность и ее подпосл.

[id892]

Разбираю решение задачи, но оно не сильно подробное. Нужно доказать, что если числовая последовательность монотонна и меет сходящуюся подпоследоватльность, то она сходится.

Начало решения:

Пусть \{$a_n, n=1,2,..\} не убывает. Подпоследовательность \{${a_k__n}, n=1,2,..\} имеет предел: $\lim_{n\to\infty}{a_k__n}=A$. Показать, что $\forall n\ a_n\le A$

Из каких соображений это следует? Правильно я понимаю, что тут нужно прийти к противоречию, что если бы существовало такое $a_n > A$, то нашлось бы и ${a_n__k} > A$, чего быть не может?

[gris]

Если перед этим была теорема о сходимости монотонной и соответственно ограниченной последовательности, то достаточно.

[ewert]

id892 в сообщении #672287 писал(а):

Правильно я понимаю, что тут нужно прийти к противоречию, что если бы существовало такое $a_n > A$, то нашлось бы и ${a_n__k} > A$, чего быть не может?

Правильно.

gris в сообщении #672289 писал(а):

Если перед этим была теорема о сходимости монотонной и соответственно ограниченной последовательности,

Эта теорема не нужна, тем более, что доказываемое утверждение не зависит от полноты.

[gris]

Ну да. Раз уж есть частичный предел, то полнота не нужна. Но тогда придётся более подробно доказывать, что предел существует и равен частичному.
Я же сказал "достаточно", а не "необходимо"

[id892]

Если $\exists \ a_n > A$, то очевидно, что $\exists N \colon$ \forall n > N\ a_n > A. Т.е кол-во элементов последовательности $\{{a_n}\}$ , меньших ${A}$, конечно. Т.к $\{{a_n__k}\}$ - подпоследовательность, это же самое верно и для нее. По Теореме Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях $\{{a_n__k}\}$ ограничена своим пределом и не существет ${a_n__k} > A$. Получаем, что $\{{a_n__k}\}$ не может быть последовательностю, т.к кол-во элементов в ней ограничено.

Верно?

[Aritaborian]

Не, тут явно что-то не то. Вы часом не путаете последовательность с множеством её значений?