МНК-оценка для параметрической функции неполного ранга

[rais]

Здраствуйте.

Даю условие "слово-в-слово":

Цитата:

Имеется модель наблюдений неполного ранга, удовлетворяющая условиям:

$M(Y)=\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&2&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\beta_1\\\beta_2\\\beta_3\end{pmatrix};\quad\quad D(Y)=\sigma^2\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Вычислить несмещенную оценку методом наименьших квадратов параметрической функции неполного ранга.

Мои соображения такие:
Не будем вдаваться в критику опечаток про дисперсию. То есть дисперсия имеет вид:
$D(Y)=\sigma^2\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

Далее - про то, что такое ранг модели я имею смутное представление (лишь формальное - по условию того, что ранг матрицы X меньше числа коэффициентов).
Возникает вопрос - Для чего именно должна быть вычислена оценка?
Для модели? - Она задана условием. И как раз не смещенная (об этом ведь ничего не было в условии сказано - имеем право считать удобное нам).
Для коэффициентов? - Для этого необходимо иметь значения наблюдений Y.
Для X? - Он ведь уже задан условием. Ведь:
$Y=X\cdot\beta+\varepsilon$, а заданием оценки модели без указания сведений, про $\varepsilon$ имеем право предположить несмещенность заданной оценки:
$M(Y)=X\cdot\beta;\quad\quad D(Y)=D(\varepsilon)$.

Оценка должна быть вычислена для параметрической функции. Но кто есть параметр?
Я, конечно, могу начать рассуждения про оценку коэффициентов, но тогда я дохожу до $\beta=\beta$.

Возможно, я не все здесь назвал общепринятыми названиями, но так уж сложилось - есть список литературы и задание. Из списка литературы мало что доступно не то, что в электронном, но и в бумажном виде.

[Евгений Машеров]

Имеется в виду следующее.
Оценить коэффициенты модели мы не можем. Поскольку их больше, чем наблюдений, так что они определены неоднозначно (можно наложить дополнительные условия, например, линейные, или же потребовать минимума нормы вектора коэффициентов, добившись так однозначности, но это "введение новых сущностей")
Однако можно искать оценку некоторой линейной функции от коэффициентов модели, которая определяется однозначно, если коэффициенты этой функции удовлетворяют некоторому условию.
По-видимому, полное решение задачи требует сформулировать это условие, а затем выписать выражение для функции, удовлетворяющей этому условию, как линейную функцию от Y.
Кое-что есть в "Козлов, Прохоров. Введение в математическую статистику. М. МГУ. 1987", параграф 9, пп. 5-6, но, возможно, лучше поискать в более подробных курсах дисперсионного анализа.

[--mS--]

И маленькое замечание вдогон:

rais в сообщении #672160 писал(а):

Не будем вдаваться в критику опечаток про дисперсию. То есть дисперсия имеет вид:
$D(Y)=\sigma^2\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

Не стоит критиковать то, что не понимаете. Дисперсия (а именно, матрица ковариаций) в условии описана абсолютно верно. Ваш же вектор из двух дисперсий ничего не говорит о некоррелированности ошибок.

[Евгений Машеров]

Каких именно книг Вам недостаёт в электронном виде? Возможно, я что-то смогу Вам выслать е-мейлом или выложить.

[rais]

Сразу же о-прошу не бить за поздний ответ.
С задачей разобрался (кое-как).

А насчет литературы, особо зацепило содержание книги "Теория планирования эксперимента", автор Асатурян В. И.