Волновая природа микромира

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #670340 писал(а):

Если в Вашей добавке к лагранжиану $R_{ij}$ - симметричный тензор Риччи, то она тождественно равна нулю.

Не в моей, а в Вашей добавке к лагранжиану. Не симметричный тензор Риччи, а антисимметричный тензор Римана (по другой антисимметричной паре индексов он свёрнут с определённой комбинацией гамма матриц).

$$\nabla_{\mu} \psi = \partial_{\mu} \psi + \Gamma_{\mu} \psi + i e A_{\mu} \psi.$$

$$\Gamma_{\mu} = \frac{1}{8} {\omega_{\mu}}^{a b} [\gamma_a, \gamma_b]$$

$$ (\nabla_{\mu} \nabla_{\nu} - \nabla_{\nu} \nabla_{\mu} ) \psi = (\mathcal{R}_{\mu \nu} + i e F_{\mu \nu})\psi $$

$$\mathcal{R}_{\mu \nu} = \partial_{\mu} \Gamma_{\nu} - \partial_{\nu} \Gamma_{\mu} + \Gamma_{\mu} \Gamma_{\nu} - \Gamma_{\nu} \Gamma_{\mu}$$

$$F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}$$

[espe]

Lvov в сообщении #670340 писал(а):

Вариационные формулы для различных динамических показателей поля можно видеть в монографиях по КЭД и релятивистской КМ.

Из известных мне формул, если взять лагранжиан Дирака+дивергенция, Ваша формула для спина не получается. Поэтому я и просил точную ссылку на формулу по которой Вы считали спин.

Lvov в сообщении #670340 писал(а):

В частности, формула для плотности спинмомента электрона имеется в книге А.И.Ахиезер, В.Б.Берестецкий, КЭД, М 1969, ф. 8.8.5, последние два члена.

Я не нашел эту книгу 1969 года, только 1981. В ней формулы с номером 8.8.5 нет. Посмотрите какой номер имеет ваша формула в книге 1981 года издания или дайте точную ссылку в другой книге.

[Lvov]

Цитата:

espe:
1) Из известных мне формул, если взять лагранжиан Дирака+дивергенция, Ваша формула для спина не получается.

2) Я не нашел эту книгу 1969 года, только 1981. В ней формулы с номером 8.8.5 нет. Посмотрите какой номер имеет ваша формула в книге 1981 года издания или дайте точную ссылку в другой книге.

1) А какая формула вариационного формализма поля для плотности спинмомента Вам известна? Общая формула для плотности момента (орбитального и спинового) есть в статье Википедии "Лагранжев формализм".

2) Действительно, в издании Ахиезера, Берестецкого, КЭД, 1981 опущены разделы, связанные с использованием лагранжева вариационнго формализма в теории поля.
Нет таких разделов и в КЭД Ландау-Лифшица, Т4. Увы, в интернете я не нашел книги Ахиезера-Берестецкого от 1969 г.

Рекомендую посмотреть учебное пособие Н.Н.Болголюбова, Д.В.Ширкова "Квантованные поля", 1980, пар. 5, стр. 43, формула для плотности спинмомента, следующая за формулой для плотности тока (7). Конечную же формулу для плотности сптнмомента (8) принимать во внимание не надо, так как она получена для "традиционного" лагранжиана уравнения Дирака.

В заключение приведу вышеуказанную формулу (8.8.5) из книги Ахиезера-Берестецкого от 1969 г. для тензора плотности полного (орбитального плюс спинового) момента поля:

$M^{ijk}=x^i T^{jk} - x^j T^{ik} -\frac {\partial L}{\partial (\frac {\partial\psi}{\partial x^k})}\,I^{ij}\psi\,+\,\bar{\psi}I^{ij}\,\frac {\partial L}{\partial (\frac {\partial \bar{\psi}}{\partial x^k})}, $

где $I^{ij}=\frac 1 4 (\gamma^i \gamma^j - \gamma^j \gamma^i).$
В формулах для упрощения я греческие буквы индексов заменил на латинские.

С уважением О.Львов

[espe]

Теперь если подставить предложенный вами лагранжиан в формулы, то получим тензор спина, который равен сумме тензора спина (есть в учебниках, я его не пишу) из лагранжиана Дирака и тензора из добавочной части лагранжиана (которая дивергенция)

$$ S^{\mu\,[\alpha\beta]}\sim\partial_\nu\bar{\psi}\,\sigma^{\nu\mu}\sigma^{\alpha\beta}\psi - \bar{\psi}\sigma^{\alpha\beta}\sigma^{\mu\nu}\partial_\nu\psi$$

Обе части, полученного мной тензора спина, по отдельности и вместе взятые не совпадают с Вашей

Lvov в сообщении #668254 писал(а):

Тензор плотности спинового момента, определяемый по известной вариационной формуле на основе нового лагранжиана, имеет следующий вид:

$$M^{ijk}_{\text{сп}}=\frac{1}{4m}\,(\,\frac{\partial\bar{\psi}}{\partial{x^k}}\sigma^{ij}\psi\,-\,\bar{\psi}\sigma^{ij}\frac{\partial\psi}{\partial x^k})\,.$$

и я не вижу какими преобразованиями можно показать, что они совпадают.

[Lvov]

Цитата:

espe:
Обе части, полученного мной тензора спина, по отдельности и вместе взятые не совпадают с Вашей, и я не вижу какими преобразованиями можно показать, что они совпадают.

Преобразования не сложные, покажу на примере первого члена вашего частичного спинмомента, заменив индексы на латинские.
$ \partial_l\bar{\psi}\sigma^{lk}\sigma^{ij}\psi = m\bar{\psi}\sigma^{ij}\psi - \partial_k\bar{\psi}\sigma^{ij}\psi.$
Здесь использовано сопряженное уравнение Дирака $ \partial_l\bar{\psi}\gamma^l-m\bar{\psi}=0.$
Кроме того помним, что $\sigma^{ij} = \gamma^i \gamma^j.$ Поскольку в рассмотренном члене $l\neq k$, то для получения первого члена сопряженного уравнения Дирака недостает одного элемента $\partial_k\bar{\psi}\gamma^k\gamma^k\sigma^{ij}\psi$, где суммирование по $k$ отсутствует. Мы его добавляем и вычитаем.
Аналогично производим преобразование второго члена Вашего выражения, используя уже основное уравнение Дирака.
В дальнейшем первые члены новых частичных выражений сокращаются с равными по величине, но противоположными по знаку членами частичного сминмомента, получаемого из традиционного лагранжиана уравнения Дирака, и получается приведенная мной формула.

С уважением О.Львов

[zask]

Не совсем понял: так убили Лагранжиан или нет?

[Lvov]

Цитата:

zask:
Не совсем понял: так убили Лагранжиан или нет?

Я считаю предложенный лагранжиан более корректным, чем принятый. Однако последнее слово за спецами по КЭД. Со стороны, как говорится, виднее.


Пока по теме не поступают новые замечания и вопросы конструктивного характера, остановлюсь подробнее на проблеме описания частиц и античастиц при использовании раздельных уравнений. Делается это с целью возможности применения классического лагранжева вариационного метода при анализе волновых полей микрочастиц и отказа от формальных операторов нормальных произведений при указанном анализе.

В случае уравнения Клейна-Гордона-Фока (см. статью 9 со ссылкой на головной странице публикации) разделение производится по знаку релаксационной частоты, который, как известно, является инвариантом при смене ИСО. В случае свободных частиц получаемые уравнения первого порядка по времени для частицы и античастицы имеют следующий вид:

$$\left(i\frac {\partial}{\partial x_0}\pm\sqrt{m^2+\frac{\partial^2}{\partial x^2_\nu}}\right)\,\psi\,=0,\,\,\,(2)$$

где знак "+" отвечает основной частице, а знак "-" античастице, $\nu\,=\,1,\,2,\,3.$
Линейный оператор $\hat{O}\,=\,\sqrt{m^2+\frac{\partial^2}{\partial x^2_\nu}}$ в выражении (2) следует понимать в смысле разложения радикала в степенной ряд

$$\hat{O}\,=\,m\,+\,\frac {1}{2m} \frac {\partial^2}{\partial x^2_\nu}\,-\,\frac {1}{8m^3}\frac{\partial^2}{\partial x^2_\nu}\frac {\partial^2}{\partial x^2_\mu}\,+\,\cdots\,. $$

Справедливость уравнений (2) при указанном определении оператора $\hat{O}$ следует из того факта, что при подстановке в них спектральных составляющих волновой функции получается правильное релятивистское соотношение для компонент волнового 4-вектора $\omega=\pm\sqrt{\omega^2_0+\vec{k}^2}$.

В указанной статье приводятся формулы для лагранжианов уравнений (2) и получаемые на основе этих лагранжианов выражения для вектора плотности заряда-тока и тензора энергии-импульса. Из указанных выражений следует, что плотность электрического заряда, имеет знак, отвечающий знаку заряда частицы, а плотность энергии является положительно определенной величиной.
В статье также приводятся уравнения для частицы и античастицы, взаимодействующих с электромагнитным полем. Далее рассматриваются решения предложенных уравнений при использовании функции Грина и метода рекурсии в случае взаимодействующих частиц.

Вариант раздельного описания частиц и античастиц при использовании уравнений Дирака рассматривается в статье "Один вариант симметричного описания электронов и позитронов"
В данном случае для описания электронов используется известное уравнение Дирака, а для описания позитронов подобное уравнение с обратным знаком перед вторым массовым членом уравнения, см. нижеприводимые формулы для случая свободного электронного и позитронного поля .

$(\gamma^k\frac{\partial}{\partial x^k}+m\psi)=0,\,\,\,$(1a)

$(\gamma^k\frac{\partial}{\partial x^k}-m\psi)=0.\,\,\,$(1b)

Применение отдельных уравнений электрона и позитрона рассматриваемого вида обеспечивает правильный знак заряда частицы при использовании последовательного вариационного метода.
Оба уравнения характеризуются положительно- и отрицательноэнергетическими решениями. Однако в данном случае отрицательноэнергетические решения не имеют самостоятельного значения, а рассматриваются в качестве "малых" добавок к основному решению данных уравнений, а также как определенные составляющие случайных электронно-позитронных вакуумных полей.
Более подробно данные вопросы рассмотрены в статье 2 "Волновая природа микромира... (квантовые поля и их взаимодействие)" и в отдельной вышеуказанной статье 10.

С уважением О.Львов

[zask]

Lvov в сообщении #671400 писал(а):

Я считаю предложенный лагранжиан более корректным, чем принятый. Однако последнее слово за спецами по КЭД. Со стороны, как говорится, виднее.

А по существу можете возразить оппонентам?

[Lvov]

Цитата:

zask:
А по существу можете возразить оппонентам?

Конечно могу, если будут конструктивные критические замечания.

[espe]

Lvov в сообщении #671009 писал(а):

Преобразования не сложные, покажу на примере ...

Ошибок в вычислениях про спин я не нашёл. Может быть что-то упустил. Как-то всё странно выглядит: добавили дивергенцию в лагранжиан и спин стал сохраняться.

Меня терзают смутные сомнения... Больше пока ничего сказать не могу.

[lek]

Lvov в сообщении #671009 писал(а):

Преобразования не сложные, покажу на примере первого члена вашего частичного спинмомента, заменив индексы на латинские.
$ \partial_l\bar{\psi}\sigma^{lk}\sigma^{ij}\psi = m\bar{\psi}\sigma^{ij}\psi - \partial_k\bar{\psi}\sigma^{ij}\psi.$
Здесь использовано сопряженное уравнение Дирака $ \partial_l\bar{\psi}\gamma^l-m\bar{\psi}=0.$

Сопряженное уравнение Дирака "убивает" одну гамма-матрицу. У вас же пропадает пара. Хотелось бы увидеть подробные вычисления...

[zask]

Lvov в сообщении #671435 писал(а):

Конечно могу, если будут конструктивные критические замечания.

А это неконструктивное замечание?

SergeyGubanov в сообщении #670040 писал(а):

Ну вот и приехали. В электродинамике Максвелла-Дирака в лагранжиане нет члена $\bar{\psi} \, \sigma^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \psi$. У Вайнберга-Салама тоже такого нет. Значит тушим свет, занавес. А жаль, интересная штука была.

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #671400 писал(а):

Вариант раздельного описания частиц и античастиц при использовании уравнений Дирака рассматривается в статье "Один вариант симметричного описания электронов и позитронов"

Вместо электродинамики Максвелла-Дирака вы предлагаете другую электродинамику. Хотелось бы для начала знать как изменится:

• "закон Кулона", то есть поле неподвижного точечного заряда,
• спектр "атома водорода".

Кстати, в лагранжиане в формуле (13) последнее слагаемое убивает калибровочную инвариантность.

[Lvov]

Цитата:

espe:
Ошибок в вычислениях про спин я не нашёл. Может быть что-то упустил. Как-то всё странно выглядит: добавили дивергенцию в лагранжиан и спин стал сохраняться.
Меня терзают смутные сомнения...

zask:
Ну вот и приехали. В электродинамике Максвелла-Дирака в лагранжиане нет члена $\bar{\psi} \, \sigma^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \psi$. У Вайнберга-Салама тоже такого нет. Значит тушим свет, занавес. А жаль, интересная штука была.

Как я пришел к новым выражениям для лагранжиана, тензора спинмомента и его оператора. Сначала я анализировал спинорное уравнение второго порядка

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2_k}\,-\,m^2\psi\,=0\,\,\,(1),$$

решения которого представляют собой совокупность решений уравнений Дирака с положительным и отрицательным знаком перед последним массовым членом (см. формулы 1a и 1b в моем сообщении от 14.01.13 p671400).
Вычисляя тензоры плотностей для уравнения (1) по его известному лагранжиану, я заметил, что эти тензоры отличаются от тензоров уравнений Дирака, причем канонический тензор энергии-импульса здесь симметричный, а тензоры спинового и орбитального момента сохраняются по отдельности.

Тогда я стал подыскивать допустимую добавку к лагранжианам уравнений Дирака, и среди всех возможных нашел рассматриваемую здесь добавку, которая сделала одинаковыми формулы для тензоров плотностей динамических показателей уравнений 1, 1a и 1b.

Откуда же единое значение (отличное от моего) для лагранжиана уравнения Дирака у разных авторов монографий, названных г.zask? Я не знаю истории этого вопроса, но могу предположить, что кто-то (возможно, Дирак) первым предложил простейшее выражение для названного лагранжиана, а другие авторы его переписали, ввиду авторитетности автора первоисточника.

Цитата:

Lvov: $ \partial_l\bar{\psi}\sigma^{lk}\sigma^{ij}\psi = m\bar{\psi}\sigma^{ij}\psi - \partial_k\bar{\psi}\sigma^{ij}\psi.$
Здесь использовано сопряженное уравнение Дирака $ \partial_l\bar{\psi}\gamma^l-m\bar{\psi}=0.$

lek
Сопряженное уравнение Дирака "убивает" одну гамма-матрицу. У вас же пропадает пара. Хотелось бы увидеть подробные вычисления...

Левая сторона левой части приведенного выражения не дотягивает, до первого члена сопряженного уравнения Дирака, так как в ней недостает члена $\partial_k\bar{\psi}\gamma^k$ ввиду того, что $\sigma^{kk}=0.$ В последних выражениях суммирование по $k$ не производится. Что бы исправить положение, добавляем и вычитаем к левой части рассматриваемого выражения недостающий член $\partial_k\bar{\psi}\gamma^k\gamma^k\sigma^{ij}\psi=\partial_k\bar{\psi}\sigma^{ij}\psi$, поскольку $\gamma^k\gamma^k=1$. Здесь снова по $k$ нет суммирования. Первый добавленный член дополняет левую часть выражения до полного первого члена левой части сопряженного уравнения Дирака, который в силу этого уравнения равен второму массовому члену $m\bar{\psi}$. Второй добавленный член со знаком минус остается, что и отражено в цитированном Вами моем выражении.

С уважением О.Львов

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #671967 писал(а):

Тогда я стал подыскивать допустимую добавку к лагранжианам уравнений Дирака, и среди всех возможных нашел рассматриваемую здесь добавку, которая сделала одинаковыми формулы для тензоров плотностей динамических показателей уравнений 1, 1a и 1b.
Откуда же единое значение (отличное от моего) для лагранжиана уравнения Дирака у разных авторов монографий, названных г.zask? Я не знаю истории этого вопроса, но могу предположить, что кто-то (возможно, Дирак) первым предложил простейшее выражение для названного лагранжиана, а другие авторы его переписали, ввиду авторитетности автора первоисточника.

То есть вы ничего не поняли?

Попробую ещё раз...

Для калибровочной инвариантности Лагранжиан надо составлять не из частных производных $\partial_{\mu} \psi$, а из ковариантных $\nabla_{\mu} \psi = \partial_{\mu} \psi + i e A_{\mu} \psi$ (про гравитационную спиновую связность $\Gamma_{\mu}$ пока забудем). Так вот, если вашу добавку записать по-правильному через ковариантные производные, то в лагранжиане появится дополнительный член $\bar\psi \sigma^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \psi$ отсутствующий в электродинамике Максвелла-Дирака, то есть получится, что вы предлагаете другую электродинамику.