Перемножение рациональных чисел

[Amigo]

Уважаемые математики. Подскажите пожалуйста литературу в которой можно было бы почитать, про перемножение рациональных чисел, являющихся бесконечными периодическими дробями. Особенно интересуют следующие аспекты:
1. Существует ли конструктивная процедура позволяющая по двум известным рациональным
числам:
A=a_0,a_1a_2..a_n(a_{n+1}..a_k);
B=b_0,b_1b_2..b_l(a_{l+1}..a_r);
за конечное количество шагов определить рациональное число являющееся точным произведением двух данных?
2. Что можно сказать о периоде произведения этих чисел?
Можно ли например, зная, что длина периода одного числа равна p а другого q заведомо утверждать что то о периоде произведения? например, что она равна p+q, или pq или чему то другому? А может в одних случаях можно, а в других нельзя? Тогда в каких можно?
3. Можно ли зная некоторые свойства рац. чисел, но не производя полного вычисления
их произведения, наверняка утверждать, что по крайней мере два,три знака после запятой
будут в точности такими как и в реальном произведении?

Вообщем нужна книжка, содержащая как можно больше информации о произведении рациональных чисел.

[Brukvalub]

Amigo писал(а):

1. Существует ли конструктивная процедура позволяющая по двум известным рациональным
числам:
A=a_0,a_1a_2..a_n(a_{n+1}..a_k);
B=b_0,b_1b_2..b_l(a_{l+1}..a_r);
за конечное количество шагов определить рациональное число являющееся точным произведением двух данных?

Да, существует.
1.За один шаг на число записываем эти числа в виде обыкновенных дробей (этому учат где-то в 6-7 классе средней школы).
2.Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно конечное число шагов.
3.На этом процесс перемножения закончен. Но если нужно получить десятичную запись произведения, то опять же известен конечный алгоритм, позволяющий это сделать.
Да и про период произведения много чего можно сказать (в частности, оценить сверху его длину)
Об этом написано во многих книгах. Например, С.Б.Гашков, В.Н.Чубариков, Арифметика, алгоритмы, сложность вычислений, Высшая Школа, 2000., $ 6.

[Amigo]

Brukvalub - метод который Вы описали хорошо известен.
Но я имел ввиду нечто другое. А именно что то типа "перемножения
в столбик", как это осуществляется для конечных дробей и без промежуточного перевода чисел в обыкновенные дроби.


Вотз десь: нашёл указанную Вами
книгу, но нужен пароль что бы её скачать. Никто не знает?

Brukvalub, не подскажите, как можно доказать, вроде как очевидное
утверждение:
Ни какая степень числа являещегося бесконечной периодической
дробью не может являться конечной дробью.

[Brukvalub]

Amigo писал(а):

нашёл указанную Вами
книгу, но нужен пароль что бы её скачать. Никто не знает?

Пароль там виден из-под локализованного для России IE, они его от русскоязычных пользователей не скрывают.

Amigo писал(а):

Brukvalub, не подскажите, как можно доказать, вроде как очевидное
утверждение:
Ни какая степень числа являещегося бесконечной периодической
дробью не может являться конечной дробью.

Я бы доказывал это от противного.

[Yuri Gendelman]

Brukvalub писал(а):

Пароль там виден из-под локализованного для России IE

Можно использовать и английские верси IE и Windows, если в Windows добавлена поддержка русского языка и для non-Unicode программ выбран русский язык.

[Amigo]

Не получается у меня доказать этот факт. Как я понял нужно действовать примерно так:
Допустим $(\frac m n)^l=$ b_0,b_1b_2..b_r, при том, что
$\frac m n=$ a_0,a_1a_2..a_n(a_{n+1}..a_k) , нужно доказать,
что эти два условия не совместимы. С чего же можно начать это доказательство?

[Brukvalub]

Если дробь несократима, и некоторая ее натуральная степень является конечной десятичной дробью, то эта новая дробь тоже несократима, причем, глядя на строение дроби-степени, можно судить и о строении исходной дроби, после чего легко доказать, что в ее десятичном представлении периоду взяться неоткуда.

[neo66]

Amigo писал(а):

Не получается у меня доказать этот факт. Как я понял нужно действовать примерно так:
Допустим $(\frac m n)^l=$ b_0,b_1b_2..b_r, при том, что
$\frac m n=$ a_0,a_1a_2..a_n(a_{n+1}..a_k) , нужно доказать,
что эти два условия не совместимы. С чего же можно начать это доказательство?

Для начала неплохо было бы разобраться, какие рациональные числа представляются бесконечными периодическими десятичными дробями, а какие конечными.

[Amigo]

Brukvalub писал(а):

Если дробь несократима, и некоторая ее натуральная степень является конечной десятичной дробью, то эта новая дробь тоже несократима, причем, глядя на строение дроби-степени, можно судить и о строении исходной дроби, после чего легко доказать, что в ее десятичном представлении периоду взяться неоткуда.

В том то всё и дело, что непонятно как судить по дроби- степени об исходной дроби.
Windows - калькулятор не даёт ни какой информации об строении исходной дроби
по дроби- степени, например:
2/7= 0,28571428571428571428571428571429... = 0,(285714)
но
4/49=0,081632653061224489795918367346939 в последней дроби вообще период не виден.
Считать вручную же почти не реально. Кроме того, непонятно: существует ли общая закономерность позволяющая найти значение дроби, по дроби-степени.

Добавлено спустя 8 минут:

neo66 писал(а):

Amigo писал(а):

Не получается у меня доказать этот факт. Как я понял нужно действовать примерно так:
Допустим $(\frac m n)^l=$ b_0,b_1b_2..b_r, при том, что
$\frac m n=$ a_0,a_1a_2..a_n(a_{n+1}..a_k) , нужно доказать,
что эти два условия не совместимы. С чего же можно начать это доказательство?

Для начала неплохо было бы разобраться, какие рациональные числа представляются бесконечными периодическими десятичными дробями, а какие конечными.

А где это разбирается? Мне известно лишь то, что любая обыкновенная дробь
однозначно представляется ввиде конечной или бесконечной периодической дроби.
Но я не разу не встречал ни одного условия, позволяющего заранее судить по числам m,n
об том в какую десятичную дробь она разложится, без того что бы на прямую не провести это
разложение.

[neo66]

Amigo писал(а):

А где это разбирается? Мне известно лишь то, что любая обыкновенная дробь
однозначно представляется ввиде конечной или бесконечной периодической дроби.
Но я не разу не встречал ни одного условия, позволяющего заранее судить по числам m,n
об том в какую десятичную дробь она разложится, без того что бы на прямую не провести это
разложение.

Ну, это нетрудно и самому понять:
Если $\frac{m}{n}$, (где $m$ и $n$ - взаимно просты) - конечная десятичная дробь, то $n$ не может иметь простых делителей, отличных от 2 и 5.

[Amigo]

Это в десятичной системе?
Как Вы это доказали?

Добавлено спустя 1 минуту 26 секунд:

Как это может помочь в решении основной задачи?

[Brukvalub]

Если рассматривается конечная десятичная дробь, например, 0,236 , то она представляется в виде

\[\frac{{236}}{{1000}} = \frac{{236}}{{2^3 5^3 }}\]

, и даже после сокращения, никаких новых простых множителей в знаменателе, кроме имеющихся там 2 и 5, не возникнет. Разве это не очевидно?

[ИСН]

Amigo писал(а):

Как Вы это доказали?

Простите, но тут вспоминается анекдот:

Цитата:

Как он знал? Шаман...

Далее.

Amigo писал(а):

Как это может помочь в решении основной задачи?

Да уж как-то может. Если у одного числа знаменатель такой (из двоек и пятёрок, Upd. Вот как моё количество сообщений сейчас.), и у другого - тоже такой, то у их произведения... какой?

[Amigo]

Brukvalub, neo66, ИСН- спасибо за помощь, доказательство понятно.

[Amigo]

Блин ссылка не рабочая...

Возник ещё один вопрос: существует ли функция ставящая в соответствие (явным образом) периоду некоторого рационального числа период его степени?

Хотя вряд ли...

Тогда, хотя бы длине периода одного числа, длину периода его степени?