Формула сигнатуры

[Maximum]

Записать формулу $\Phi$ сигнатуры $\sigma=\langle + \rangle$ без свободных переменных такую, что для любой модели $\mathfrak{U}$ сигнатуры $\sigma$ выполняется: $\mathfrak{U} \vDash \Phi \Longleftrightarrow \mathfrak{U}$ — трехэлементная абелева группа.

Не могу даже представить, как это записать без знака равенства.

[Maximum]

По-моему, без знака равенства нельзя записать формулу без свободных пременных, чтобы она была истинной на модели только если носитель модели - трехэлементная абелева группа. Раз уж так, то хотя бы записать это со знаком равенства...

[luitzen]

Maximum писал(а):

По-моему, без знака равенства нельзя…

Мне тоже так кажется.
Быть может, следует просто записать через конъюнкцию условия для трёхэлементности, для абелевости и для «групповости»?
Возможно, некоторые из этих условий сами должны быть «записаны через конъюнкцию»…

[bot]

Формула строится посредством логических связок и навешивания кванторов из атомных формул. Атомная формула - это либо предикат от термов, либо равенство термов. В сигнатуре группы предиката нет. Если убрать ещё и равенство, то ни одной формулы не напишешь.

[Maximum]

Спасибо, что подтвердили мои опасения. Тогда всё нормально - со знаком равенства я это записал, это-то несложно.

[bot]

В случае, если равенство есть, сигнатура вовсе не у дел - надо просто записать формулами два утверждения:
"существуют различные элементы x, y, z" и "всякий элемент t равен x или y или z" и взять их конъюнкцию.
Наверно так Вы и записали.