Треугольник с целыми длинами сторон

[scwec]

Батороев, из того, что $c+a=mb_1$ и $c-a=nb_2$ и $b_1b_2=b$ следует, что $c^2-a^2=mnb$. Но тогда $mn$ - обязательно четное. Присмотритесь получше.
Не проходит Ваше доказательство.

[Батороев]

Да, не проходит.

[green5]

Вопрос может ли $ a = (1/5)\sqrt{5b^2+5c^2+10\sqrt{3b^2c^2-b^4-c^4}} $ быть целым, при целых b,c
,мож и может (приравниваем квадраты площадей по формуле герона и обычной)

[scwec]

green5, прочитайте длинное доказательство scwec в этой теме на стр.3. Из него следует, что $a$ не может быть целым.
Идея доказательства в том, что если находится целое $a$, то берется минимальное из всех возможных $a$, и потом доказывается, что существует еще меньшее. Это называется методом спуска.

[Gornilo]

Друзья,
хочу предложить вам несколько измененный вариант первоначальной задачи:
найти треугольник, у которого длины сторон и высота равны целым числам,
при этом высота делит сторону, на которую она опущена, на отрезки, длины которых также равны целым числам.

[scwec]

Наверное, Вы имели в виду все высоты целые и все отрезки сторон целые? А то получается уж совсем просто.

[Gornilo]

Уважаемый scwec,
я написал все правильно: я имел ввиду одну высоту.
Вы говорите, очень просто?
Приведите, пожалуйста, методику решения и пример.
Только не надо складывать по катету два одинаковых
прямоугольных треугольника с целочисленными значениями
длин их сторон. Это просто.

[ИСН]

Что значит не надо. По Вашей формулировке левая половина с неизбежностью является таким треугольником (прямоугольным с целыми сторонами). И правая тоже. Требование - как в сказке, "ни пешком, ни на лошади, ни голая, ни одетая, ни с гостинцем, ни без подарочка".

[scwec]

Получаются такие треугольники следующим образом: берутся три положительных рациональных числа $m,n,k$ таких, что $mn>k^2$.
Треугольник с длинами сторон $a=n(m^2+k^2), b=m(n^2+k^2), c=(m+n)(mn-k^2)$ имеет площадь $s=kmn(m+n)(mn-k^2)$.
Не выписываю значений длин всех высот и отрезков сторон, из приведенных формул они легко вычисляются и являются рациональными числами. Это известная параметризация Кармайкла рациональных треугольников. Целые треугольники получаем умножением длин сторон на общий знаменатель для длин всех отрезков сторон и высот.

[Gornilo]

Уважаемый scwec,
Ваши доводы были бы несомненно более убедительными, если бы
Вы привели пример в числах.
Вопрос: может ли существовать треугольник с целочисленными
значениями сторон и высоты при условии, что размер высоты
равен простому числу, при этом высота делит сторону на целочисленные
отрезки? Можно ли с помощью приведенных Вами формул
найти такое решение?
Пример: Размеры сторон треугольника: $a=55, b=183, c=224, h=33$. Высота $h$ делит сторону $c$
на отрезки $44, 180.$ Можно ли резмеры этого треугольника
рассчитать по Вашим формулам? Обращаю Ваше внимание, что приведенные значения размеров сторон не имеют общего делителя.
С уважением Gornilo

[scwec]

Gornilo, справляйтесь сами с вашими вопросами. Они вам под силу.
С помощью параметризации Кармайкла получаются ВСЕ рациональные треугольники, в том числе и целые.

[Gornilo]

Уважаемые знатоки,
предлагаю вашему вниманию простое решение задачи.
Если у косоугольного треугольника стороны, высота и отрезки, на которые высота делит
сторону, на которую она опущена, имеют целочисленное значение, то решение выглядит
следующим образом. Задаемся значением высоты $h=mn$, где $m, n$ - нечетные числа.
Определяем значения сторон прямоугольных треугольников, из которых состоит
косоугольный треугольник.
Гипотенуза первого прямоугольного треугольника ( сторона косоугольного треугольника) равна:
$a= \frac{(mn)^2+m^2}{2m}$
Гипотенуза второго прямоугольного треугольника ( сторона косоугольного треугольника) равна:
$b=\frac{(mn)^2+n^2}{2n}$
Катет первого прямоугольного треугольника ( часть третьей стороны косоугольного треугольника) равен:
$k=\frac{(mn)^2-m^2}{2m}$
Катет второго прямоугольного треугольника ( часть третьей стороны косоугольного треугольника) равен:
$p=\frac{(mn)^2-n^2}{2n}$
Сложив катеты $k, p$ и произведя соответствующие преобразования, получим длину третьей стороны:
$c=k+p=0,5(m+n)(mn-1)$
Отсюда следует, что:
$c=k+p=0,5(m+n)(mn-1)\ne h=mn$
Высота не равна стороне, на которую она опущена.
Площадь треугольника равна:
$F=\frac{ch}{2}=\frac{(m+n)\cdot(mn-1)\cdot mn}{4}$
Площадь косоугольного треугольника не равна квадрату числа. Если бы она равнялась квадрату числа,
она должна быть равна $F=(mn)^2$,
при этом сторона $c$ должна быть равна: $c=2mn$.
Для высоты $h=2mn$ доказательство аналогичное.
С Рождеством Христовым всех добрых людей!

[scwec]

Можно констатировать, что сделал автор.
Взял три целых числа $m,n,k=1$.
Используя их, написал выражения для длин сторон треугольника, как у Кармайкла, и поделил их на $2$.
Вычислил длины отрезков сторон.
Заметил, что для полученного конкретного треугольника длина высоты не равна длине стороны, на которую она опущена, а также, что площадь полученного треугольника не есть полный квадрат.
Не возражаю. А что доказано-то? И какая тут новизна?

[Gornilo]

Доказана (решена) поставленная автором темы задача простым и понятным даже школьнику способом. Предложенный способ доказательства новый.
В этом новизна.

[nnosipov]

Gornilo в сообщении #671035 писал(а):

Доказана (решена) поставленная автором темы задача простым и понятным даже школьнику способом.

Где доказана? Я не вижу доказательства. Приведите ссылку.