Условный экстремум функции

[DLL]

Допустим заданы гладкие функции $f(x,y)$ и $\varphi(x,y)$ в $R^2$.
Необходимо исследовать на экстремум функцию f на множестве $G \in R^2$, которое определяется как множество решений уравнения $\varphi(x,y) = 0$.
Если $grad \varphi (x_0,y_0) \neq 0$, то необходимым условием условного экстремума функции $f$, будет $grad f (x_0,y_0) = \lambda grad \varphi (x_0,y_0)$ для некоторого $\lambda \in R$.

Пусть $grad \varphi (x_0,y_0) = 0$, в этом случае равенство $grad f (x_0,y_0) = \lambda grad \varphi (x_0,y_0)$ может нарушаться в точках условного экстремума?

[мат-ламер]

Равенство в этом случае верно при $\lambda =0$.

[alcoholist]

Вот пример: $\varphi(x,y)=y^2$

во всех точках прямой $\varphi(x,y)=0$ градиент нулевой

а функцию $f$ берите какую хотите

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #671027 писал(а):

Равенство в этом случае верно при $\lambda =0$.

Оно может быть верно и при любом $\lambda$, если оба градиента равны нулю.

[alcoholist]

мат-ламер в сообщении #671037 писал(а):

Оно может быть верно и при любом $\lambda$, если оба градиента равны нулю.

нарушается, вообще говоря

[мат-ламер]

alcoholist в сообщении #671039 писал(а):

нарушается, вообще говоря

Это как? (Вообще я писал "может быть верно").

[alcoholist]

мат-ламер в сообщении #671041 писал(а):

Это как? (Вообще я писал "может быть верно")

может быть, а может и не, поэтому "вообще говоря, неверно"))

вот возьмем $\varphi(x,y)=y^2$, $f(x,y)=x^2+(1+y)^2$

На множестве $\{(x,y):\,\varphi(x,y)=0\}$ градиент $\varphi$ равен нулю, а наша функция равна $f(x,0)=1+x^2$, поэтому экстремум достигается в начале координат, но $\nabla f(0,0)\ne 0$

[мат-ламер]

А вообще вопрос топикстартера непонятен. Если градиент целевой функции в подозрительной точке отличен от нуля, то существует ненулевой $\lambda$. А вот, если градиент нулевой, то теория ничего не говорит об этом $\lambda$, а советует пользоваться двумя $\lambda _0$ и $\lambda _1$.
(Извиняюсь, написал ерунду. Не "целевой функции" а функции ограничений. Описка.)

[alcoholist]

мат-ламер в сообщении #671050 писал(а):

А вообще вопрос топикстартера непонятен

вопрос-то понятен) Он спрашивает нарушается ли приведенное им равенство. Ответ: да, вообще говоря нарушается

[мат-ламер]

(Оффтоп)

При повторном чтении первого поста выяснилось, что я вообще неправильно прочёл уловие. Видимо, ещё не проснулся. Извиняюсь за глупость.