
и

. Которые как вектора не ортогональны ни разу.
Тут, естественно, опечатка: имелась в виду ортогональность

и

. Можно было бы и догадаться.
Хотите полного доказательства -- пожалуйста. Плотность совместного распределения есть

, где

. Рассмотрим ортогональное преобразование

, в котором

, в остальном же преобразование какое угодно. Для случайного вектора

, представляющего собой соответствующую функцию от

, плотность примет вид

, где

. Отсюда случайная величина

независима со всеми остальными

(собственно, этот факт на данный момент должен был быть известен уже давно, но тут он в очередной раз даётся даром) и тем самым независима со случайной величиной

, и при этом величина

распределена по

. Однако

-- это проекция

на

, т.е.

и, следовательно, случайная величина

пропорциональна

(коэффициент пропорциональности можно даже не отслеживать -- все соотношения между параметрами мы и без того знаем). И при этом случайная величина

пропорциональна выборочной дисперсии.
Вот и всё. Собственно, здесь примерно то же самое, что и у Боровкова в доказательстве теоремы 1 (да и странно было бы иначе), только без предварительного расчёсывания правого уха левой ногой через Владивосток.