Ещё раз про хи-квадрат

[FFFF]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #670659 писал(а):

для нормальных величин из некоррелированности следует независимость

На вики даже статью отдельно этому посвятили, недавно наткнулся=)
http://en.wikipedia.org/wiki/Normally_d ... ndependent

[GAttuso]

FFFF в сообщении #670685 писал(а):

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #670659 писал(а):

для нормальных величин из некоррелированности следует независимость

На вики даже статью отдельно этому посвятили, недавно наткнулся=)
http://en.wikipedia.org/wiki/Normally_d ... ndependent

(Оффтоп)

Ого
Специалисты, подскажите, пожалуйста, вот эта фраза, например, тоже безграмотна:
"Если гауссова совокупность образована некоррелированными случайными величинами, то все они статистически независимы."
?

[--mS--]

Вот именно. Тем более, что с точки зрения математической культуры меня весьма заинтриговало изложенное выше доказательство. Если мне объяснят некоторые совершенно непонятные мне места, буду признательна.

ewert в сообщении #669860 писал(а):

Формально эта величина есть квадрат нормы случайного вектора $\overrightarrow H=\overrightarrow X-X_{av}\vec b$, где $\vec b=(1,1,\ldots,1)$. Слагаемые в этой разности ортогональны друг другу.

О каких слагаемых и какой ортогональности идёт речь? Вижу ровно два слагаемых: $\overrightarrow X$ и $X_{av}\vec b$. Которые как вектора не ортогональны ни разу.

ewert в сообщении #669860 писал(а):

Ну так и сделаем поворот координатных осей $\vec x=\sum\limits_{k=1}^ny_k\vec e_k$, в котором орт $\vec e_n$ параллелен вектору $\vec b$, т.е. $\vec e_n=\frac1{\sqrt n}\vec b$, все же остальные орты -- какие угодно, лишь бы были ортонормированы между собой и ортогональны $\vec e_n$. Если теперь $\overrightarrow Y\equiv\sum\limits_{k=1}^{n-1}y_k\vec e_k$, то $\|\overrightarrow Y\|=\|\overrightarrow H\|$ (поскольку оба вектора суть ортогональные дополнения до $\vec b$). И при этом вектор $\overrightarrow Y$ центрирован по всем своим компонентам и имеет по ним те же дисперсии, что и исходные иксы (это легко проверяется по плотностям распределения).

Можно мне показать, где тут вообще "исходные иксы" и как связаны с $\overrightarrow Y$?

(Оффтоп)

Нет, я, конечно, могу догадаться, что имел в виду автор, но...

-- Сб янв 12, 2013 19:34:58 --

GAttuso в сообщении #670729 писал(а):

Ого
Специалисты, подскажите, пожалуйста, вот эта фраза, например, тоже безграмотна:
"Если гауссова совокупность образована некоррелированными случайными величинами, то все они статистически независимы."
?

Если совместное распределение величин - нормальное, то некоррелированность влечёт независимость. Разве в тексте с вики об этом не сказано?

[GAttuso]

--mS-- в сообщении #670733 писал(а):

Если совместное распределение величин - нормальное, то некоррелированность влечёт независимость. Разве в тексте с вики об этом не сказано?

Уважаемый(ая) --mS--
Да, кажется понял.
Т.е. у такой совокупности обязательно должна совместная п.в. соответствовать гуссовому (нормальному) распределению.

[Евгений Машеров]

Смотря что означает "гауссова совокупность".
Если многомерное нормальное распределение - то всё верно.
А если совокупность величин, каждая из которых нормально распределена - то нет.
Простенький пример:
$x \sim N(0,1)$
$y=\begin{cases} x,&\text{если $|x|>a$;}\\ -x,&\text{если $|x|\leq a$.} \end{cases}$
Меняя а, можно получить любую корреляцию, в том числе и 0. Но зависимость-то есть, причём функциональная даже, не статистическая... Хотя распределение каждой из величин - нормальное.

[ewert]

--mS-- в сообщении #670733 писал(а):

$\overrightarrow X$ и $X_{av}\vec b$. Которые как вектора не ортогональны ни разу.

Тут, естественно, опечатка: имелась в виду ортогональность $\overrightarrow H$ и $X_{av}\vec b$. Можно было бы и догадаться.

Хотите полного доказательства -- пожалуйста. Плотность совместного распределения есть $N\,\exp\left(-\frac1{2\sigma^2}\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\mu)^2\right)=N\,\exp\left(-\frac1{2\sigma^2}\|\vec x-\mu\vec b\|^2\right)$, где $\vec b=(1,1,\ldots,1)$. Рассмотрим ортогональное преобразование $\vec x=\sum\limits_{k=1}^ny_k\vec e_k$, в котором $\vec e_n=\frac1{\sqrt n}\vec b$, в остальном же преобразование какое угодно. Для случайного вектора $\overrightarrow Y$, представляющего собой соответствующую функцию от $\overrightarrow X$, плотность примет вид $N\,\exp\left(-\frac1{2\sigma^2}\|\vec y\|^2\right)\cdot\exp\left(-\frac1{2\sigma^2}(y_n-\mu\sqrt n)^2\right)$, где $\vec y\equiv\sum\liits_{k=1}^{n-1}y_k\vec e_k=\vec x-y_n\vec e_n$. Отсюда случайная величина $Y_n$ независима со всеми остальными $Y_k$ (собственно, этот факт на данный момент должен был быть известен уже давно, но тут он в очередной раз даётся даром) и тем самым независима со случайной величиной $\|\overrightarrow Y\|^2$, и при этом величина $\frac1{\sigma^2}\|\overrightarrov Y\|^2$ распределена по $\chi^2(n-1)$. Однако $y_n$ -- это проекция $\vec x$ на $\vec b$, т.е. $y_n=\frac1{\sqrt n}(\vec x,\vec b)=\frac1{\sqrt n}\sum\limits_{k=1}^nx_k$ и, следовательно, случайная величина $Y_n$ пропорциональна $X_{av}=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nX_k$ (коэффициент пропорциональности можно даже не отслеживать -- все соотношения между параметрами мы и без того знаем). И при этом случайная величина $\|\overrightarrow Y\|^2=\|\overrightarrow X-Y_n\vec e_n\|^2=\sum\limits_{k=1}^n(X_k-X_{av})^2$ пропорциональна выборочной дисперсии.

Вот и всё. Собственно, здесь примерно то же самое, что и у Боровкова в доказательстве теоремы 1 (да и странно было бы иначе), только без предварительного расчёсывания правого уха левой ногой через Владивосток.

[--mS--]

ewert в сообщении #670778 писал(а):

--mS-- в сообщении #670733 писал(а):

$\overrightarrow X$ и $X_{av}\vec b$. Которые как вектора не ортогональны ни разу.

Тут, естественно, опечатка: имелась в виду ортогональность $\overrightarrow H$ и $X_{av}\vec b$. Можно было бы и догадаться.

Нет, извините. Догадываться я готова и согласна по поводу записей других участников. Но не того, кто рядом обвиняет уважаемого мной математика в отсутствии математической культуры.

ewert в сообщении #670778 писал(а):

Хотите полного доказательства -- пожалуйста.

Хочу не полного, а правильного. Особенно после раскинутых пальцев по поводу чужих доказательств. Теперь всё стало на место, и исходный $\vec X$ появился, и совместные плотности. Cпасибо Евгений Машеров, я долго пыталась быть великодушной и не замечать ерунды в "доказательстве", но всему должна быть мера. А доказывать это просто и изящно - а не так, как Вы - я и сама умею.

[Евгений Машеров]

За что "спасибо"-то? Или это ирония такая?

[ewert]

--mS-- в сообщении #670791 писал(а):

не того, кто рядом обвиняет уважаемого мной математика в отсутствии математической культуры.

Извините. Боровкова я в этом не обвинял. А вот Вы позволили себе высказать некое любопытное утверждение -- что
математики не имеют права пользоваться соображениями симметрии, а обязаны использовать при каждом случае только принудительно заданный матаппарат:

--mS-- в сообщении #670530 писал(а):

Вы не мыслите себе теорию вероятностей без технических утверждений для инженеров о поворотах нормальных векторов? Или без "инвариантности сферически симметричных распределений относительно поворотов"? Это учебник для математиков.

Только по этому поводу и было употреблено слово "культура".

[--mS--]

Евгений Машеров в сообщении #670807 писал(а):

За что "спасибо"-то? Или это ирония такая?

Нет, конечно, не ирония: за замечание по поводу ортогональности и независимости. Стимул нужен в любом деле

[ewert]

Ну тогда добью (не ЕМ, естественно):

Евгений Машеров в сообщении #670659 писал(а):

Методами линейной алгебры можно доказать только некоррелированность (ортогональность) величин.

Никакие "если" и "только" тут неуместны. Тут речь исключительно о вполне конкретном совместном распределении, которое к данному моменту обязано было быть обсосано вдоль и поперёк. Нелепо учить статистике людей, не освоивших азов теорвера.

[--mS--]

Вы себе льстите. Кошмарные доказательства с кучей опечаток и недомолвок, непокобелимая уверенность в абсолютной ценности своего взгляда на вещи - да уж, добили.
Ещё раз повторю то, что Вы то ли не услышали, то ли не поняли, то ли не верите. К азам тервера это относят разве у инженеров, физиков, прикладников. Поскольку в статистике их учат уже рецептам по подстановке чиселок в готовые формулки. Математикам подобные знания в курсе тервера приложить некуда, они там не нужны совершенно.

Всё, мне категорически надоело с Вами бодаться, Ваше последнее слово.