Ряд Тейлора.

[mad1math]

Подскажите, пожалуйста, как разложить в ряд Тейлора $e^{\sqrt x}$ в точке $x=0$ в лоб по формуле, не пользуясь разложением $e^x=1+x+...$

$f(0)=1$

$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot e^{\sqrt{x}}$

Но ведь $f'(0)$ не определено...

[xmaister]

mad1math в сообщении #670538 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как разложить в ряд Тейлора $e^{\sqrt x}$ в точке $x=0$

Прежде чем разлагать в ряд в точке $0$ предъявите окрестность нуля $U_0$ для которой $e^{\sqrt{x}}\in C^{\infty}(U_0)$. Формально разложение в ряд, например, в окрестности нуля $U_0$ это инъективный гомоморфизм колец $\varphi: C^{\infty}(U_0)\to\mathbb{R}[[x]]$.

[Aritaborian]

Спросим у Альфы.

(Оффтоп)

А уважаемый xmaister, ИМХО, или издевается или не понимает, что ТС желал бы чего-то более конкретного.

[xmaister]

Aritaborian
, что такое степенной ряд?

[Aritaborian]

Формальная сумма вида $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где, таки-да, коэффициенты принадлежат какому-то кольцу. Ну и?

[xmaister]

Альфа писал(а):

$1+\sqrt{x}+\frac{x}{2}+\frac{x^{3/2}}{6}+\ldots$

Это не степенной ряд.

[Aritaborian]

То есть, степени должны быть строго натуральными?
Хм... А как называется ряд, который выдаёт Альфа?

[xmaister]

Aritaborian в сообщении #670568 писал(а):

То есть, степени должны быть строго натуральными?

Да. Можете вспомнить как формально строится множество степенных рядов над коммутативными кольцами.

Aritaborian в сообщении #670568 писал(а):

А как называется ряд, который выдаёт Альфа?

Не знаю, но точно не степенной.

[Xaositect]

xmaister в сообщении #670569 писал(а):

Не знаю, но точно не степенной.

Есть такие ряды Пюизо

[Aritaborian]

Xaositect, спасибо.