Разложить на неприводимые на полем Q

[Rezound]

Разложить на неприводимые на полем Q:
$f(x)=x^5-5x^4+7x^3-3x^2+x-1$

Рассмотрев возможные рациональные корни, я разложил его $f(x)=x^5-5x^4+7x^3-3x^2+x-1=(x-1)(x^4-4x^3+3x^2+1)$. Но далее, по редукции, необходимо доказать, что многочлен $x^4-4x^3+3x^2+1$ неприводим над полем рациональных чисел. Вот с этим, собственно, и затруднения (особенно с объяснениями почему).

[cool.phenon]

Примените обобщенную теорему Виета.

[Joker_vD]

Он неразложим по модулю 5.

cool.phenon
Это теорема о свойствах корней? И что она нам даст?

[Rezound]

а чтобы доказать, что он он неприводим по модулю 5, мне нужно найти все неприводимые многочлены 1, 2 и 3 степени и показать, что получившийся по редукции многочлен не может быть представлен в виде произведения многочленов низших степеней? (или , что вроде то же самое, найти все неприводимые многочлены 4 степени по модулю 5 и найти среди них есть необходимый нам)

[nnosipov]

Можно просто доказать отсутствие разложения вида $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ с целыми $a$, $b$, $c$, $d$, что делается моментально. Правда, при таком подходе нужна ссылка на лемму Гаусса.

[Joker_vD]

nnosipov
Да, действительно. Слушайте, а есть вменяемый способ это показывать для общего случая? Здесь я пользовался тем, что свободный член единица, а линейный член отсутствует — значит, не должно быть и кубического, а он есть. Но это же очень специально.

[nnosipov]

Joker_vD в сообщении #670375 писал(а):

Слушайте, а есть вменяемый способ это показывать для общего случая?

Так алгоритм Кронекера, для многочленов 4-й степени с не очень большими коэффициентами должен работать. (Для произвольных многочленов он, конечно, неэффективен.) Можно также решить уравнение 4-й степени в радикалах (если оно решается) и, зная корни, доказать неприводимость над $\mathbb{Q}$. В конкретных учебных примерах я бы опирался всё-таки на специфику многочлена, неприводимость которого просят установить.

[cool.phenon]

Наверное,я не до конца понял вопрос. Ведь неприводимость над полем $\mathbb{Q}$ - невозможность разложить на многочлены меньших степеней с коэффициентами из поля $\mathbb{Q}$ ?

[nnosipov]

cool.phenon в сообщении #670397 писал(а):

Ведь неприводимость над полем $\mathbb{Q}$ - невозможность разложить на многочлены меньших степеней с коэффициентами из поля $\mathbb{Q}$ ?

Правильно.

[Joker_vD]

nnosipov в сообщении #670393 писал(а):

Так алгоритм Кронекера, для многочленов 4-й степени с не очень большими коэффициентами должен работать.

Ну, алгоритм Кронекера... большая радость, параболы проводить, хоть всего и четыре.

[nnosipov]

Есть ещё один простой способ --- решить систему на $a$, $b$, $c$, $d$ в рациональных числах. Если тупо исключать неизвестные, то получится уравнение всего лишь 6-й степени, которое надо решить в рациональных числах. В целых числах система вообще просто решается --- находим перебором все возможные пары $(b,d)$, а затем решаем только квадратные уравнения для отыскания $(a,c)$. Пожалуй, это самое разумное.

[cool.phenon]

Цитата:

Правильно.

Ну тогда здесь теорема Виета тоже не помешает.Я размышлял так: старший коэффициент - $1$, свободный член - $1$. Тогда если есть рациональный корень, то его числитель и знаменатель - делители единицы. $1$ и $-1$ - не корни, значит в разложении многочлена не будет элементарных множителей $ax-b$ с рациональными коэффициентами.
А далее остаётся показать,что этот многочлен не представим в виде $(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$,где $a,b,c,d,e,f$- рациональные.

[nnosipov]

cool.phenon в сообщении #670409 писал(а):

А далее остаётся показать,что этот многочлен не представим в виде $(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$,где $a,b,c,d,e,f$- рациональные.

Вот мы и обсуждаем, как это сделать малой кровью.

[Rezound]

Понимаете, препод у меня очень принципиальный и необходимо доказать неприводимость именно по редукции (т.е. так, как сказал он).

Цитата:

а чтобы доказать, что он он неприводим по модулю 5, мне нужно найти все неприводимые многочлены 1, 2 и 3 степени и показать, что получившийся по редукции многочлен не может быть представлен в виде произведения многочленов низших степеней? (или , что вроде то же самое, найти все неприводимые многочлены 4 степени по модулю 5 и найти среди них есть необходимый нам)

это ведь будет верно?