Доказать НЕ существование пределов функций

[Gudsaf]

Необходимо доказать, что предела не существует.

Я уже не много интересовался этим вопросом и выяснил что существует два способа доказательства:

• найти односторонние пределы (справа, слева от точки)
• как-то использовать последовательность

В целях самообразования: всё ли я выше верно изложил (может есть ещё способы? может каждый метод для своего типажа используется?)?

И вот три примера, в которых нужно доказать что предела не существует:

• $\lim \cos {\frac{1}{\sqrt[3] x}}$, $x \mapsto 0$
• $\lim \frac {\sqrt a {x^2+x^3}}{x}$, $x \mapsto 0$
• $\lim 3^x$, $x \mapsto \infty$

в каком примере какой способ использовать? почему этот а не другой?

Мне просто нужен алгоритм:
1 - сделай то
2 - сделай то
3....

[gris]

Пределы удобнее записывыть так: $\lim\limits_{x\to\infty} 3^x$.

Доказывать несуществование в первом случае удобнее с помощью отрицания определения предела по Гейне, конечно, Вейерштрассу: Предел не существует, если существуют две последовательности ... имеющие разные пределы.
2) Я подозреваю ошибку в записи формулы.
3) Отрицание обычного определения существования (конечного) предела.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Gudsaf]

gris в сообщении #670332 писал(а):

2) Я подозреваю ошибку в записи формулы.

Верно, во втором под знаком предела должно быть $\frac{\sqrt{x^2+x^3}}{x}$ (простите, спешил).

gris в сообщении #670332 писал(а):

в первом случае удобнее с помощью отрицания определения предела по Вейерштрассу: Предел не существует, если существуют две последовательности ... имеющие разные пределы.

Откуда эти последовательности брать: придумать самому? Выходит что после нужно эти последовательности как-то связать с пределом (я так чую что на место Х должно встать что-то другое?)...

gris в сообщении #670332 писал(а):

3) Отрицание обычного определения существования (конечного) предела.

Угу, тут ясно.

Что можете ещё посоветовать в заданиях данного типа? Какие иные методы,

[gris]

Последовательности надо придумывать самому. В общем-то, сюда же включается случай различия предела справа и слева. Нет необходимости их находить, достаточно пустить одну последовательность значений аргумента справа, а другую слева, так, чтобы соответствующие последовательности функций стремились к разным числам. Это можно сделать во втором пределе, хотя там оба односторонних предела легко считаются явно.
Насчёт последовательностей. Их удобно применять тогда, когда предельная функции незатухающе осциллируют. Например, как косинус (намёк ). Где-то он равен нулю, а где-то единице.
Другие методы тоже есть, но в обычных пределах хватает этих двух. Вот когда начнёте изучать ряды, там увидите.

[Mitrius_Math]

1) Определение предела функции по Гейне (на языке последовательностей).

[gris]

Ой, конечно , по Гейне. А я Вейерштрасса к ночи помянул

[Gudsaf]

gris в сообщении #670407 писал(а):

Насчёт последовательностей. Их удобно применять тогда, когда предельная функции незатухающе осциллируют. Например, как косинус (намёк ).

Ясно, короче для синуса и косинуса - использовать последовательности, для остального использовать односторонние пределы

[OxanaShipilova]

а если по Гейне смотреть, какие можно последовательности придумать?

[provincialka]

OxanaShipilova, Вы о чем спрашиваете? Эта тема старая, ей уже год. Открывайте свои темы в корневом каталоге раздела. И объясните, о какой задаче спрашиваете.