Логарифмическое уравнение

[kis]

$\log_{\log_{x} 2x} (5x-2) \geq 0$
не могу решить это уравнение. тут нужно учитывать ОДЗ двух логарифмов и рассматривать возможные случаи. "в лоб" выходит очень громоздко. как надо решать?

[bot]

kis в сообщении #670092 писал(а):

"в лоб" выходит очень громоздко

Первая подсказка: это не уравнение. Показывайте Ваш "лоб".

[Praded]

Воспользуйтесь http://abitu.ru/olimp/konk/a_5tltu7/f_ggni-arph9fh8ph5, и вы легко перейдёте к неравенству $[\log_x{2x}-1]\cdot[(5x-2)-1]\geq0$.

[bot]

И ещё не забыть про ОДЗ. Полезнее с методической точки зрения и к тому же проще действовать без всяких преобразований именно в "лоб" по свойствам логарифма - ничего там громоздкого и нету, если по-сермяжному разобрать два случая без дурацких квадратных скобок.

[nnosipov]

bot в сообщении #670108 писал(а):

если по-сермяжному разобрать два случая без дурацких квадратных скобок.

Я вот тоже никогда не понимал этих искусственных извращений. Да и сам жанр подобных примеров довольно бессмыслен. Зачем школьников заставлять решать эти дикие логарифмические неравенства? Какие таланты хотят выявить таким способом?

[Praded]

bot в сообщении #670108 писал(а):

если по-сермяжному разобрать два случая без дурацких квадратных скобок.

Если у вас ограничено время для решения задач олимпиады, то сермяжность будет вредить.
PS. Вы можете по-сермяжному заменить умножение многозначных чисел их последовательным сложением в столбик. Покажите это своему работодателю. Не забудьте потом рассказать о последствиях.

[bot]

В данном случае по-сермяжному просто проще. А квадратными скобками они, как правило, пользоваться не умеют - внутри случая рассматривают подслучаи, частенько и невозможные в рамках объемлющего случая, потом ещё и ещё - вот и тащится это нагромождение до самого конца, даже если некоторые дизъюнкты уже давно успешно завершились. Перед тем, кто не запутался в этом нагромождении фигурных и квадратных скобок, хочется снять шляпу.

Praded в сообщении #670126 писал(а):

Вы можете по-сермяжному заменить умножение многозначных чисел их последовательным сложением в столбик.

И заменю, если это сулит выигрыш во времени.

-- Пт янв 11, 2013 13:39:47 --

nnosipov в сообщении #670118 писал(а):

Зачем школьников заставлять решать эти дикие логарифмические неравенства?

Ну, свойства-то логарифмической функции они должны освоить? Такие упражнения как раз и полезны, если не заниматься извращениями. Да и ничего дикого в этом неравенстве не вижу. В принципе не имею возражений и против ссылки, которую дал Praded, только лишь давать её надо далеко не всем (тому, кто путает неравенство с уравнением - заведомо вредно) и, в любом случае, не сразу.

[kis]

$\log_{\log_{x} 2x} (5x-2) \geq 0$

ОДЗ:
$\left\{\begin{matrix} & \log_x 2x > 0 \\ & \log_x 2x \ne 1 \\ & 5x -2 > 0\\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \log_x 2x > \log_x 1 \\ & \log_x 2x \ne \log_x x \\ & x >\frac{2}{5} \\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \begin{vmatrix} & \left\{\begin{matrix} & x > 1 \\ & 2x > 1 \\ \end{matrix}\right. \\ & \left\{\begin{matrix} & 0 < x < 1 \\ & 2x < 1 \\ \end{matrix}\right. \end{vmatrix} \\ & x > \frac{2}{5} \\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow $
$x \in (\frac{2}{5},\frac{1}{2}) U (1,+\propto)$
(третья система - совокупность в системе).

решение:
$\log_{\log_x 2x} (5x - 2) \geq \log_{\log_x 2x} 1$

если
$\left\{\begin{matrix} & \log_x 2x > 1 \\ & 5x - 2 \geq 1 \\ \end{matrix}\right. $
избавляемся логарифма:
если $x > 1$, ( . . . )
если $0 < x < 1$, ( . . .)

если
$\left\{\begin{matrix} & 0 < \log_x 2x < 1 \\ & 5x - 2 \leq 1 \\ \end{matrix}\right. $
выкидываем логарифм:
если $x > 1$, ( . . . )
если $0 < x < 1$, ( . . . )
Ответ: $x \in (\frac{2}{5},\frac{1}{2}) U (1,+\propto)$

т.е. избавляясь от логарифма в исходной системе, мы получаем еще один логарифм, от которого тоже приходится избавляться. получается куча систем.

но если представить неравенство в виде $[\log_x{2x}-1]\cdot[(5x-2)-1]\geq0$ \Leftrightarrow (\log_x{2x} - \log_x{x})(5x-3) \geq 0 \Leftrightarrow$
$x > 1$, $(2x - x)(5x - 3) \geq 0$ или $0 < x < 1$, $(x - 2x)(5x - 3) \geq 0$
и учесть ОДЗ - намного проще получается!

[Praded]

kis в сообщении #670325 писал(а):

и учесть ОДЗ - намного проще получается!

А то... Только у вас там какой-то странный переход в логарифмах.

[kis]

есть такое правило:
$(\log_a f - \log_a g) \cdot h\text{ } \text{ V } 0 $
$a > 1, (f - g) \cdot h \text{ V } 0$
$0 < a < 1, (g - f) \cdot h \text{ V } 0$

а как неравенство $[\log_x{2x}-1]\cdot[(5x-2)-1]\geq0$ решили бы вы?

[Praded]

$\log_{x}{2x}-1=\log_{x}{2x}-\log_{x}{x}=\log_{x}2=\dfrac{1}{\log_{2}{x}}$

[kis]

если обобщить то, что написано в методичке:

неравенство вида
$\log_{f(x)} {g(x)} \text{ V } \log_{f(x)} {h(x)}$

$f(x),g(x),h(x) > 0, f(x) \ne 1$

в общем случае решается так(совокупность):
$f(x) > 1, п(x) \text{ V } h(x)$
$0 < f(x) < 1, п(x) \text{ V } h(x)$ знак обратный
эта совокупность эквивалентна неравенству(независимо от того, строгое или нет неравенство):
$(f(x) - 1)(g(x) - h(x)) \text{ V } 0$

можно сразу записывать неравенство, избегая рассмотрения возможных случаев основания? нужно ли доказывать его на экзамене?

[Praded]

Записывать можно. Доказательство по требованию.
PS. А где собираетесь доказывать?

[kis]

ну, у школьников не так много экзаменов - ЕГЭ.

[Praded]

Собрались ЕГЭ устно сдавать?