Аксиомы отделимости Т1, Т2, Т3, Т4

[integral2009]

Каким из предложенных аксиом отделимости Т1, Т2, Т3, Т4 удовлетворяют топологические пространства которые написаны ниже? Помогите, пожалуйста, разобраться.

1) Антидискретное пространство
2) Дискретное пространство
3) Топология стрелка
4) Топология Зарисского на прямой
5) Метрическая топология на плоскости

T1 В топологическом пространстве для любых двух различных точек каждая из точек имеет открытую окрестность не содержащую другую.

T2 В топологическом пространстве любых две различные точки имеют непересекающиеся открытые окрестности.

T3 В топологическом пространстве каждая точка и не содержащее её замкнутое множество имеют непересекающиеся открытые окрестности.

T4 В топологическом пространстве каждые два непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся открытые окрестности.

1) Антидискретное пространство

T1 не удовлетворяет, так как, если $X=\{a,b\}$, а $\Delta=\{X,\varnothing\}$, то возьмем точку $a$. Она имеет лишь одну окрестность (а именно $\{a,b\}$), в ней лежит точка $b$. Кстати, а что будет с одноточечным множеством? Как мы там сможем взять 2 точки?
T2 не удовлетворяет, так как, если $X=\{a,b\}$, а $\Delta=\{X,\varnothing\}$, то точки $a,b$ не имеют непересекающиеся открытые окрестности.
T3,T4 - не понятно, ведь в антидискретном пространстве разве есть замкнутые множества?

2) Дискретное пространство

T1 удовлетворяет, так как, если $X=\{a,b\}$, а $\Delta=\{X,\{a\},\{b\},\varnothing\}$, то возьмем точку $a$. Она имеет лишь одну окрестность (а именно $\{a\}$), в ней не лежит точка $b$. Если точек больше, чем 2, то тем более удовлетворяет. Кстати, а что будет с одноточечным множеством? Как мы там сможем взять 2 точки?

T2 удовлетворяет, так как, если $X=\{a,b\}$, а $\Delta=\{X,\{a\},\{b\},\varnothing\}$, то точки $a,b$ имеют не пересекающиеся открытые окрестности, а именно $\{a\}$ и $\{b\}$.
T3,T4 - не понятно, ведь в дискретном пространстве разве есть замкнутые множества?

3) Топология стрелка $\mathbb{R}_{->}$, где $X=[0;+\infty)$, открытые множества имеют вид $(a;+\infty)\;\;\;\;a>0$

T1 не удовлетворяет, так как, если возьмем точки $x_1,x_2:\;x_2>x_1>a$, то обе точки имеют лишь одну окрестность $(a;+\infty)$
T2 не удовлетворяет, так как точки $a,b$ не имеют не пересекающиеся открытые окрестности, а имеют лишь одну окрестность $(a;+\infty)$
T3 - берем точку $x_1>a$ Открытое множество будет лишь одно $(a;+\infty)$
Замкнутое множество $(-\infty;a]$ не имеет открытой окрестности. Значит $\mathbb{R}_{->}$ не удовлетворяет этой аксиоме.
T4 берем точку $x_1<a$ Открытое множество будет лишь одно $(a;+\infty)$
Замкнутое множество лишь одно$(-\infty;a]$ не имеет открытой окрестности. Значит $\mathbb{R}_{->}$ не удовлетворяет этой аксиоме.

Пока что не буду писать дальше, с этим бы разобраться)

[xmaister]

integral2009 в сообщении #670084 писал(а):

T1 не удовлетворяет, так как, если $X=\{a,b\}$, а $\Delta=\{X,\varnothing\}$, то возьмем точку $a$. Она имеет лишь одну окрестность (а именно $\{a,b\}$), в ней лежит точка $b$. Кстати, а что будет с одноточечным множеством? Как мы там сможем взять 2 точки?

Да, антидискретное даже не $T_0$. Одноточечное пространство- $T_4$, т.к. импликация с ложной посылкой- истина.

[integral2009]

xmaister в сообщении #670093 писал(а):

импликация с ложной посылкой- истина.

Спасибо. А это всегда так? А я думал, что если ложная посылка -- то ничего сказать нельзя...

[xmaister]

integral2009 в сообщении #670096 писал(а):

А это всегда так?

Да, можете считать, что это так по определению.

-- 11.01.2013, 04:19 --

integral2009 в сообщении #670084 писал(а):

3) Топология стрелка $\mathbb{R}_{->}$, где $X=[0;+\infty)$, открытые множества имеют вид $(a;+\infty)\;\;\;\;a>0$

Такое простраство- чисто $T_0$. Не имеет смысла проверять $T_i,i\ge 2$, если не удовлетворяет $T_1$.

integral2009 в сообщении #670084 писал(а):

2) Дискретное пространство

Дискретное пространство даже $T_6$.

-- 11.01.2013, 04:21 --

(Оффтоп)

А Вы по какой-то литературе работаете или просто по лекциям?

[integral2009]

xmaister в сообщении #670097 писал(а):

Дискретное пространство даже $T_6$.

Спасибо. А верно ли проверены $T_1$ и $T_2$ для дискретной топологии? А какое множество можно взять для проверки $T_3,T_4$ топологии Зарисского и $\mathbb{R}$.

Вернусь через пару часов и попробую проверить аксиомы для

(Оффтоп)

О. Виро, О. Иванов, Н. Нецветаев. Элементарная топология. 2010 год + лекции, просто нужно будет уметь проверять связность, аксиомы отделимости, аксиомы счетности + компактность для вот этих топологий (ну еще + теория)

[integral2009]

4) Топология Зарисского. Открытые множества имеют вид $\mathbb{R} \backslash \{ a_1,\ldots, a_n \}$.

$T_1:$ Возьмем точки $x_1,x_2\in (a_1,a_2)$. Точка $x_1$ переекает любую окрестность $U_{x_2}$ точки $x_2$. Топология Зарисского не удовлетворяет $T_2$ (ну и $T_0$ не удовлетворяет, так как тоже самое можно сказать про вторую точку)
Тогда Топология Зарисского не удовлетворяет $T_2,T_3,T_4$ в том числе.

[integral2009]

5) Метрическая топология на плоскости

Проверим $T_1$

Пусть $B_r(a)=\{(x,y):r(x,y)<a\}$ - открытый шар.

Возьмем 2 произвольные точки $M(x_1,y_1)\;\;\;\;\;\;N(x_1,y_2)$

Пусть расстояние между ними $MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Построим шар $B_{r^{*}}(M)$ с центром в точке $M$, радиуса $r^{*}=\dfrac{MN}{3}$

Тогда Метрическая топология на плоскости удовлетворяет $T_1$

Проверим $T_2$

Рассматриваем все те же точки $M$ и $N$. Если возьмем два шара радиуса $r^{*}$ с центрами в точках $M$ и $N$, то они пересекаться не будут.

Тогда Метрическая топология на плоскости удовлетворяет $T_2$

[integral2009]

А ведь антидискретное пространство удовлетворяет $T_3,T_4$, так как импликация с ложной посылкой есть истина?

[xmaister]

integral2009 в сообщении #670255 писал(а):

А ведь антидискретное пространство удовлетворяет $T_3,T_4$, так как импликация с ложной посылкой есть истина?

Там нет ложной посылки.

[olenellus]

integral2009 в сообщении #670180 писал(а):

4) Топология Зарисского. Открытые множества имеют вид $\mathbb{R} \backslash \{ a_1,\ldots, a_n \}$.

$T_1:$ Возьмем точки $x_1,x_2\in (a_1,a_2)$. Точка $x_1$ переекает любую окрестность $U_{x_2}$ точки $x_2$.

А если я возьму такую окрестность точки $x_2$

$$U_{x_2}=\mathbb{R}\backslash\{x_1\}$$

Что тогда? И что там с $T_0$ всё же?

integral2009 в сообщении #670180 писал(а):

Топология Зарисского не удовлетворяет $T_2$

Это Вам ещё надо доказать.

[olenellus]

integral2009 в сообщении #670084 писал(а):

2) Дискретное пространство

T1 удовлетворяет, так как, если $X=\{a,b\}$, а $\Delta=\{X,\{a\},\{b\},\varnothing\}$, то возьмем точку $a$. Она имеет лишь одну окрестность (а именно $\{a\}$), в ней не лежит точка $b$.
<...>
T3,T4 - не понятно, ведь в дискретном пространстве разве есть замкнутые множества?

Как насчёт открытой окрестности $X$ точки $a$? (Впрочем, ответа это не меняет.)
По второму пункту. А что такое замкнутое множество?

[integral2009]

olenellus в сообщении #670465 писал(а):

А если я возьму такую окрестность точки $x_2$

$$U_{x_2}=\mathbb{R}\backslash\{x_1\}$$

Что тогда? И что там с $T_0$ всё же?.

. Да, согласен, $T_0$ удовлетворяется в таком случае. Через 30 мин на остальное отвечу. СПС.

[integral2009]

Топология Зарисского.

$T_1$ все-таки удовлетворяется, для точки $x_2$ возьмем окрестность

$$U_{x_2}=\mathbb{R}\backslash\{x_1\}$$

А для точки $x_1$ возьмем окрестность

$$U_{x_1}=\mathbb{R}\backslash\{x_2\}$$

$T_2$ не удовлетворяется, так как нет непересекающихся окрестностей точек (ибо если мы возьмем окрестности $U_{x_1}=\mathbb{R}\backslash\{x_2\}$ и $U_{x_2}=\mathbb{R}\backslash\{x_1\}$, то они пересекутся, если возьмем $U_{x_1}=\mathbb{R}\backslash\{x_1,x_2,...,x_n\}$, а $U_{x_2}=\mathbb{R}\backslash\{x_{n+1},x_{n+2},...,x_{n+k}\}$, $U_{x_1}\cap U_{x_2}=\mathbb{R}\backslash\{x_{1},x_{2},...,x_{n+k}\}$)
Раз не выполняется $T_2$, значит не выполняется $T_3,T_4$, верно ли проверил?

olenellus в сообщении #670496 писал(а):

Как насчёт открытой окрестности $X$ точки $a$? (Впрочем, ответа это не меняет.)

Точно, да, $X$ тоже открытая окрестность.

olenellus в сообщении #670496 писал(а):

По второму пункту. А что такое замкнутое множество?

Замкнутое множество -- дополнение к открытому.

Так как $\varnothing$ - открыто, то $X\backslash \varnothing=X$ -- замкнуто.

А $\varnothing$ - замкнуто по определению.

-- Сб янв 12, 2013 03:55:07 --

Проверим $T_3$ для антидискретного пространства.

Возьмем точку $x\in X$. Замкнутое множество, не содержащее $x$ лишь одно, а именно $\varnothing$.

Но ведь $X\cap\varnothing=\varnothing$ => $T_3$ не удовлетворяется.

А вот как $T_4$ проверить для антидискретного пространства? Вроде как множество $X$ не имеет окрестности или окрестностью можно назвать само множество $X$?

[olenellus]

integral2009 в сообщении #670540 писал(а):

Топология Зарисского.

$T_1$ все-таки удовлетворяется

Теперь верно.

integral2009 в сообщении #670540 писал(а):

$T_2$ не удовлетворяется

Верно. Доказательство правильное.

integral2009 в сообщении #670540 писал(а):

Раз не выполняется $T_2$, значит не выполняется $T_3,T_4$, верно ли проверил?

Верно, но только если Вы понимаете, почему выполнение $T_1$ и невыполнение $T_2$ влечёт невыполнение $T_3$ и $T_4$.

integral2009 в сообщении #670540 писал(а):

А $\varnothing$ - замкнуто по определению.

Это где Вы такое определение видели? Не по определению, а как следствие того, что $X$ открыто и $X\backslash X=\varnothing$.

integral2009 в сообщении #670540 писал(а):

Проверим $T_3$ для антидискретного пространства.

Возьмем точку $x\in X$. Замкнутое множество, не содержащее $x$ лишь одно, а именно $\varnothing$.

Но ведь $X\cap\varnothing=\varnothing$ => $T_3$ не удовлетворяется.

Это высказывание ложно. Рассуждение правильное, вывод неправильный

integral2009 в сообщении #670540 писал(а):

Вроде как множество $X$ не имеет окрестности или окрестностью можно назвать само множество $X$?

И тут мы опять возвращаемся к определениям. Что такое открытая окрестность некоторого множества?

[integral2009]

olenellus в сообщении #670544 писал(а):

И тут мы опять возвращаемся к определениям. Что такое открытая окрестность некоторого множества?

Пусть задано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, где $X$ — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Множество $V \subset X$ называется окрестностью точки $x\in X$, если существует открытое множество $U\in \mathcal{T}$ такое, что $x \in U \subset V$

-- Сб янв 12, 2013 04:53:54 --

olenellus в сообщении #670544 писал(а):

Это где Вы такое определение видели? Не по определению, а как следствие того, что $X$ открыто и $X\backslash X=\varnothing$.

Ой, это я перепутал